a)

$\overrightarrow{u}=\left[2;-3\right],\overrightarrow{v}=\left[-6;9\right]$

$\alpha \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$

Podstawiamy współrzędne wektorów do równania

$\alpha \left[2;-3\right]+\left[-6;9\right]=\left[0;0\right]$

$\left[2\alpha ;-3\alpha \right]+\left[-6;9\right]=\left[0;0\right]$

$\left[2\alpha -6;-3\alpha +9\right]=\left[0;0\right]$

 

• $2\alpha -6=0\mid +6$

$2\alpha =6\mid :2$

$\alpha =3$

• $-3\alpha +9=0\mid -9$

$-3\alpha =-9\mid :\left(-3\right)$

$\alpha =3$            

 

Zatem równość zachodzi dla 𝛼=3.

---

b)

$\overrightarrow{u}=\left[-12;9\right],\overrightarrow{v}=\left[-16;12\right]$

$\alpha \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$

Podstawiamy współrzędne wektorów do równania

$\alpha \left[-12;9\right]+\left[-16;12\right]=\left[0;0\right]$

$\left[-12\alpha ;9\alpha \right]+\left[-16;12\right]=\left[0;0\right]$

$\left[-12\alpha -16;9\alpha +12\right]=\left[0;0\right]$

 

• $-12\alpha -16=0\mid +16$

$-12\alpha =16\mid :\left(-12\right)$

$\alpha =-\frac{16}{12}=-\frac{4}{3}$

• $9\alpha +12=0\mid -12$

$9\alpha =-12\mid :9$

$\alpha =-\frac{12}{9}=-\frac{4}{3}$            

 

Zatem równość zachodzi dla 𝛼=-⁴/3.