a)

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=9\\ x^2+y^2+8y=-15\end{array}$  

 

Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego i dostajemy

$9+8y=-15\mid -9$

$8y=-24\mid :8$

$y=-3$    

 

Wracamy do podstawienia i wyznaczamy wartość x 

$x^2+{\left(-3\right)}^2=9$

$x^2+9=9\mid -9$

$x^2=0$

$x=0$

 

Zatem układ równań ma jedno rozwiązanie

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-3\end{array}$

 

Interpretacja geometryczna układu równań    

Przekształcamy równanie okręgu

$x^2+y^2+8y=-15$

do postaci kanonicznej 

$x^2+{\left(y+4\right)}^2-16=-15\mid +16$

$x^2+{\left(y+4\right)}^2=1$   

 

 

Okręgi mają jeden punkt wspólny P(0, -3).

---

b)

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+4x=0\\ x^2+y^2-2x=3\end{array}$  

Przekształcamy pierwsze równanie i dostajemy

$x^2+y^2=-4x$

i podstawiamy do drugiego równania

$-4x-2x=3$

$-6x=3\mid :\left(-6\right)$

$x=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$    

Wracamy do podstawienia i wyznaczamy wartość y

${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$\frac{1}{4}+y^2=2\mid -\frac{1}{4}$

$y^2=2-\frac{1}{4}=1\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\mid \sqrt{}$

$y=\frac{\sqrt{7}}{2}\vee y=-\frac{\sqrt{7}}{2}$

 

Zatem układ równań ma dwa rozwiązania

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{\sqrt{7}}{2}\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=-\frac{\sqrt{7}}{2}\end{array}$

 

Interpretacja geometryczna układu równań    

Przekształcamy równania okręgów do postaci kanonicznej

• $x^2+y^2+4x=0$

${\left(x+2\right)}^2+y^2-4=0\mid +4$

${\left(x+2\right)}^2+y^2=4$   

 

• $x^2+y^2-2x=3$

${\left(x-1\right)}^2+y^2-1=3\mid +1$

${\left(x-1\right)}^2+y^2=4$   

 

 

Okręgi mają dwa punkty wspólne P₁(-¹/₂, ^√7/₂), P₂(-¹/₂, -^√7/₂).

---

c)

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=16\\ x^2+y^2-4x=0\end{array}$  

Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego i dostajemy

$16-4x=0\mid -16$

$-4x=-16\mid \cdot \left(-1\right)$

$4x=16\mid :4$    

$x=4$  

 

Wracamy do podstawienia i wyznaczamy wartość y 

$4^2+y^2=16$

$16+y^2=16\mid -16$

$y^2=0$

$y=0$

 

Zatem układ równań ma jedno rozwiązanie

$\{\begin{array}{l}x=4\\ y=0\end{array}$

 

Interpretacja geometryczna układu równań    

Przekształcamy równanie okręgu

$x^2+y^2-4x=0$

do postaci kanonicznej 

${\left(x-2\right)}^2+y^2-4=0\mid +4$

${\left(x-2\right)}^2+y^2=4$   

 

 

Okręgi mają jeden punkt wspólny P(4, 0).

---

d)

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-6x=0\\ x^2+y^2-8y=0\end{array}$  

Przekształcamy pierwsze równanie i dostajemy

$x^2+y^2=6x$

i podstawiamy do drugiego równania

$6x-8y=0$

$6x=8y\mid :6$

$x=\frac{8}{6}y=\frac{4}{3}y$    

Wracamy do podstawienia i wyznaczamy wartość y

${\left(\frac{4}{3}y\right)}^2+y^2=6\cdot \frac{4}{3}y$

$\frac{16}{9}{y}^2+y^2=8y$

$\frac{25}{9}{y}^2=8y\mid -8y$

 

$\frac{25}{9}{y}^2-8y=0$

$y\left(\frac{25}{9}y-8\right)=0$

$y=0\vee \frac{25}{9}y-8=0$

$\frac{25}{9}y=8\mid \cdot \frac{9}{25}$

$y=\frac{72}{25}$   

Wyznaczamy wartość x

$x=\frac{4}{3}y=\frac{4}{3}\cdot 0=0\vee x=\frac{4}{3}\cdot \frac{72}{25}=\frac{96}{25}$    

 

Zatem układ równań ma dwa rozwiązania

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=\frac{96}{25}\\ y=\frac{72}{25}\end{array}$

 

Interpretacja geometryczna układu równań    

Przekształcamy równania okręgów do postaci kanonicznej

• $x^2+y^2-6x=0$

${\left(x-3\right)}^2+y^2-9=0\mid +9$

${\left(x-3\right)}^2+y^2=9$   

 

• $x^2+y^2-8y=0$

$x^2+{\left(y-4\right)}^2-16=0\mid +16$

$x^2+{\left(y-4\right)}^2=16$   

 

 

Okręgi mają dwa punkty wspólne P₁(0, 0), P₂(⁹⁶/₂₅, ⁷²/₂₅).

---

e)

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ x^2+y^2+8y=-7\end{array}$

Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego równania

$25+8y=-7\mid -25$

$8y=-32\mid :8$

$y=-4$    

Wracamy do podstawienia i wyznaczamy wartość x

$x^2+{\left(-4\right)}^2=25$

$x^2+16=25\mid -16$

$x^2=9\mid \sqrt{}$

$x=3\vee x=-3$

 

Zatem układ równań ma dwa rozwiązania

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-4\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-4\end{array}$

 

Interpretacja geometryczna układu równań    

Przekształcamy równanie okręgu do postaci kanonicznej

$x^2+y^2+8y=-7$

$x^2+{\left(y+4\right)}^2-16=-7\mid +16$

$x^2+{\left(y+4\right)}^2=9$   

 

 

Okręgi mają dwa punkty wspólne P₁(3, -4), P₂(-3, -4).

---

f)

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-8y=-6\\ x^2+y^2+2y=4\end{array}$

Przekształcamy pierwsze równanie i dostajemy

$x^2+y^2=-6+8y$

i podstawiamy do drugiego równania

$-6+8y+2y=4$

$-6+10y=4\mid +6$

 

$10y=10\mid :10$    

$y=1$  

Wracamy do podstawienia i wyznaczamy wartość x

$x^2+1^2=-6+8\cdot 1$

$x^2+1=2\mid -1$

$x^2=1\mid \sqrt{}$

$x=1\vee x=-1$

 

Zatem układ równań ma dwa rozwiązania

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}$

 

Interpretacja geometryczna układu równań    

Przekształcamy równania okręgów do postaci kanonicznej

• $x^2+y^2-8y=-6$

$x^2+{\left(y-4\right)}^2-16=-6\mid +16$

$x^2+{\left(y-4\right)}^2=10$   

 

• $x^2+y^2+2y=4$

$x^2+{\left(y+1\right)}^2-1=4\mid +1$

$x^2+{\left(y+1\right)}^2=5$   

 

 

Okręgi mają dwa punkty wspólne P₁(1, 1), P₂(-1, 1).