a)

Z treści zadania wiemy, że

${\left(x-2\right)}^2+y^2=25$

$l:x=4$

 

Spójrzmy na rysunek 

 

 

Środkiem okręgu jest punkt O(2, 0), a promień jest równy 5. Niech |OP| będzie odległością środka

okręgu od prostej l, a punkty A, B niech będą punktami przecięcia okręgu z tą prostą.

Wówczas

$\left|OP\right|=2$

zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OPA dostajemy

$\left|AP\right|=\sqrt{5^2-{\left|OP\right|}^2}=\sqrt{25-2^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$

 

Trójkąty OPA i OPB są przystające, więc długość cięciwy:

$\left|AB\right|=2\cdot \left|AP\right|=2\sqrt{21}$       

---

b)

Z treści zadania wiemy, że

${\left(x-2\right)}^2+y^2=25$

$l:x=-1$

 

Spójrzmy na rysunek

 

 

Środkiem okręgu jest punkt O(2, 0), a promień jest równy 5. Niech |OP| będzie odległością środka

okręgu od prostej l, a punkty A, B niech będą punktami przecięcia okręgu z tą prostą.

Wówczas

$\left|OP\right|=3$

zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OPA dostajemy

$\left|AP\right|=\sqrt{5^2-{\left|OP\right|}^2}=\sqrt{25-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$

 

Trójkąty OPA i OPB są przystające, więc długość cięciwy:

$\left|AB\right|=2\cdot \left|AP\right|=2\cdot 4=8$   

---

c)

Z treści zadania wiemy, że

${\left(x-2\right)}^2+y^2=25$

$l:y=\frac{1}{2}x$

 

Zapiszmy równanie prostej w postaci ogólnej

$-\frac{1}{2}x+y=0$  

 

Spójrzmy na rysunek

 

 

Środkiem okręgu jest punkt O(2, 0), a promień jest równy 5. Niech |OP| będzie odległością środka

okręgu od prostej l, a punkty A, B niech będą punktami przecięcia okręgu z tą prostą.

Wówczas

$\left|OP\right|=\frac{\left|-\frac{1}{2}\cdot 2+1\cdot 0+0\right|}{\sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+1^2}}=\frac{\left|-1\right|}{\sqrt{\frac{1}{4}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}}=$

$=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=1\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$  

zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OPA dostajemy

$\left|AP\right|=\sqrt{5^2-{\left|OP\right|}^2}=\sqrt{25-{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2}=\sqrt{25-\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{125}{5}-\frac{4}{5}}=$  

$=\sqrt{\frac{121}{5}}=\frac{11}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{5}$  

 

Trójkąty OPA i OPB są przystające, więc długość cięciwy:

$\left|AB\right|=2\cdot \left|AP\right|=2\cdot \frac{11\sqrt{5}}{5}=\frac{22\sqrt{5}}{5}$