Dla jakich wartości parametru m podane równanie jest równaniem okręgu o promieniu 4?- Zadanie 9: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y = m^{2} + 2 m - 4$

Zapiszmy równanie okręgu w postaci kanonicznej

$(x^{2} + 4 x + 4) + (y^{2} - 2 y + 1) - 4 - 1 = m^{2} + 2 m - 4$

$(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} - 5 = m^{2} + 2 m - 4 ∣ + 5$

$(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = = r^{2} m^{2} + 2 m + 1$

Promień okręgu ma być równy 4, zatem r²=16.

Z treści zadania wiemy, że promień okręgu ma być równy 4, zatem

$m^{2} + 2 m + 1 = 16 ∣ - 16$

$m^{2} + 2 m - 15 = 0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15) = 4 + 60 = 64, Δ = 8$

$m_{1} = \frac{- 2 - 8}{2} = - 5 \lor m_{2} = \frac{- 2 + 8}{2} = 3$

Wnioskujemy, że dla

$m \in {- 5; 3}$

podane równanie jest równaniem okręgu o promieniu 4.

$x^{2} - 2 x + y^{2} + 4 y = m^{2} - 2 m + 3$

Zapiszmy równanie okręgu w postaci kanonicznej

$(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 4 y + 4) - 1 - 4 = m^{2} - 2 m + 3$

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} - 5 = m^{2} - 2 m + 3 ∣ + 5$

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = = r^{2} m^{2} - 2 m + 8$

Promień okręgu ma być równy 4, zatem r²=16.

Z treści zadania wiemy, że promień okręgu ma być równy 4, zatem

$m^{2} - 2 m + 8 = 16 ∣ - 16$

$m^{2} - 2 m - 8 = 0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 4 + 32 = 36, Δ = 6$

$m_{1} = \frac{2 - 6}{2} = - 2 \lor m_{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

Wnioskujemy, że dla

$m \in {- 2; 4}$

podane równanie jest równaniem okręgu o promieniu 4.

$x^{2} + 4 x + y^{2} - m y + m^{2} - \frac{1}{4} m - 12 = 0$

Zapiszmy równanie okręgu w postaci kanonicznej

$(x^{2} + 4 x + 4) + (y^{2} - m y + \frac{m ^{2}}{4}) - 4 - \frac{m ^{2}}{4} + m^{2} - \frac{1}{4} m - 12 = 0$

$(x + 2)^{2} + (y - \frac{m}{2})^{2} - 16 - \frac{m ^{2} + m}{4} + m^{2} = 0 ∣ + 16 + \frac{m ^{2} + m}{4} - m^{2}$

$(x + 2)^{2} + (y - \frac{m}{2})^{2} = = r^{2} 16 + \frac{m ^{2} + m}{4} - m^{2}$

Promień okręgu ma być równy 4, zatem r²=16.

Z treści zadania wiemy, że promień okręgu ma być równy 4, zatem

$16 + \frac{m ^{2} + m}{4} - m^{2} = 16 ∣ - 16$

$\frac{m ^{2} + m}{4} - m^{2} = 0 ∣ \cdot 4$

$m^{2} + m - 4 m^{2} = 0$

$- 3 m^{2} + m = 0$

$- m (3 m - 1) = 0$

$m = 0 \lor m = \frac{1}{3}$

Wnioskujemy, że dla

$m \in {0; \frac{1}{3}}$

podane równanie jest równaniem okręgu o promieniu 4.

Katarzyna Majewska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania wymierne

Premium

14:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności funkcji kwadratowej

15:15

Zobacz lekcję

Równania kwadratowe

13:14

Zobacz lekcję

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.