Przypomnijmy definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. $\sin \beta =\frac{b}{a}\sin \gamma =\frac{c}{a}$ $\cos \beta =\frac{c}{a}\cos \gamma =\frac{b}{a}$   $\text{tg}\beta =\frac{b}{c}\text{tg}\gamma =\frac{c}{b}$   $\text{ctg}\beta =\frac{c}{b}\text{ctg}\gamma =\frac{b}{c}$

---

a)

 

Obliczamy długość przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa 

$x^2=3^2+4^2$

$x^2=9+16$

$x^2=25\mid \sqrt{},x>0$

$x=5$     

 

Wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych 

$\sin \beta =\frac{4}{5}\sin \gamma =\frac{3}{5}$

$\cos \beta =\frac{3}{5}\cos \gamma =\frac{4}{5}$  

$\text{tg}\beta =\frac{4}{3}\text{tg}\gamma =\frac{3}{4}$  

$\text{ctg}\beta =\frac{3}{4}\text{ctg}\gamma =\frac{4}{3}$  

---

b)

Obliczamy długość przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa 

$x^2=9^2+{12}^2$

$x^2=81+144$

$x^2=225\mid \sqrt{},x>0$

$x=15$     

 

Wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych 

$\sin \beta =\frac{12}{15}=\frac{4}{5}\sin \gamma =\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$

$\cos \beta =\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\cos \gamma =\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$  

$\text{tg}\beta =\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\text{tg}\gamma =\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$  

$\text{ctg}\beta =\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\text{ctg}\gamma =\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$  

---

c)

Obliczamy długość przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa 

$x^2=5^2+{12}^2$

$x^2=25+144$

$x^2=169\mid \sqrt{},x>0$

$x=13$     

 

Wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych 

$\sin \beta =\frac{12}{13}\sin \gamma =\frac{5}{13}$

$\cos \beta =\frac{5}{13}\cos \gamma =\frac{12}{13}$  

$\text{tg}\beta =\frac{12}{5}\text{tg}\gamma =\frac{5}{12}$  

$\text{ctg}\beta =\frac{5}{12}\text{ctg}\gamma =\frac{12}{5}$  

---

d)

Obliczamy długość przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa 

$x^2=1^2+2^2$

$x^2=1+4$

$x^2=5\mid \sqrt{},x>0$

$x=\sqrt{5}$     

 

Wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych 

$\sin \beta =\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\sin \gamma =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\cos \gamma =\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

$\text{tg}\beta =\frac{2}{1}=2\text{tg}\gamma =\frac{1}{2}$  

$\text{ctg}\beta =\frac{1}{2}\text{ctg}\gamma =\frac{2}{1}=2$