Współczynnik kierunkowy prostej o równaniu $y=ax+b$ , przechodzącej przez punkty $\left(x_1,y_1\right)\text{i}\left(x_2,y_2\right)$ , gdzie $x_1\ne x_2$ , jest równy:

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$  

Proste $y=a_{1}x+b_1\left(a_1\ne 0\right)\text{i}y=a_{2}x+b_2$  są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a_2=-\frac{1}{a_1}$   

 

$\text{a)}$  

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek.

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty  $A\text{i}B$ . 

$a_{AB}=\frac{0-\left(-2\right)}{-2-\left(-4\right)}=\frac{0+2}{-2+4}=\frac{2}{2}=1$  

Symetralna odcinka  $AB$  jest prostopadła do prostej $AB$ , więc współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:

$a=-\frac{1}{1}=-1$  

Równanie prostej możemy zatem zapisać w postaci:

$y=-x+b$  

Prosta ta przechodzi przez środek odcinka $AB$ . Wyznaczamy współrzędne tego punktu. 

$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{-4+\left(-2\right)}{2},\frac{-2+0}{2}\right)=\left(\frac{-4-2}{2},\frac{-2}{2}\right)=$  

$=\left(\frac{-6}{2},-1\right)=\left(-3,-1\right)$  

Podstawiamy współrzędne tego punktu do powyższego równania i wyznaczamy wyraz wolny  $b$ .

$-1=-1\cdot \left(-3\right)+b$  

$-1=3+b$  

$b=-4$  

Mamy więc:

$y=-x-4$  

---

$\text{b)}$  

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek.

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty  $A\text{i}B$ . 

$a_{AB}=\frac{-1-1}{9-6}=\frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}$  

Symetralna odcinka  $AB$  jest prostopadła do prostej $AB$ , więc współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:

$a=-\frac{1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$  

Równanie prostej możemy zatem zapisać w postaci:

$y=\frac{3}{2}x+b$  

Prosta ta przechodzi przez środek odcinka $AB$ . Wyznaczamy współrzędne tego punktu.

$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{6+9}{2},\frac{1+\left(-1\right)}{2}\right)=\left(\frac{15}{2},\frac{0}{2}\right)=\left(\frac{15}{2},0\right)$  

Podstawiamy współrzędne tego punktu do powyższego równania i wyznaczamy wyraz wolny  $b$ .

$0=\frac{3}{2}\cdot \frac{15}{2}+b$  

$0=\frac{45}{4}+b$  

$b=-\frac{45}{4}$  

Mamy więc:

$y=\frac{3}{2}x-\frac{45}{4}$  

---

$\text{c)}$  

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek.

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty  $A\text{i}B$ . 

$a_{AB}=\frac{5-0}{1-0}=\frac{5}{1}=5$  

Symetralna odcinka  $AB$  jest prostopadła do prostej $AB$ , więc współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:

$a=-\frac{1}{5}$  

Równanie prostej możemy zatem zapisać w postaci:

$y=-\frac{1}{5}x+b$  

Prosta ta przechodzi przez środek odcinka $AB$ . Wyznaczamy współrzędne tego punktu.

$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{0+1}{2},\frac{0+5}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)$  

Podstawiamy współrzędne tego punktu do powyższego równania i wyznaczamy wyraz wolny  $b$ .

$\frac{5}{2}=-\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}+b$  

$\frac{5}{2}=-\frac{1}{10}+b$  

$b=\frac{26}{10}$  

$b=\frac{13}{5}$  

Mamy więc:

$y=-\frac{1}{5}x+\frac{13}{5}$  

---

$\text{d)}$  

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek.

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty  $A\text{i}B$ . 

$a_{AB}=\frac{1-\left(-1\right)}{1-\left(-1\right)}=\frac{1+1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$  

Symetralna odcinka  $AB$  jest prostopadła do prostej $AB$ , więc współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:

$a=-\frac{1}{1}=-1$  

Równanie prostej możemy zatem zapisać w postaci:

$y=-x+b$  

Prosta ta przechodzi przez środek odcinka $AB$ . Wyznaczamy współrzędne tego punktu.

$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{-1+1}{2},\frac{-1+1}{2}\right)=\left(\frac{0}{2},\frac{0}{2}\right)=\left(0,0\right)$  

Podstawiamy współrzędne tego punktu do powyższego równania i wyznaczamy wyraz wolny  $b$ .

$0=-1\cdot 0+b$  

$0=0+b$  

$b=0$  

Mamy więc:

$y=-x$  

---

$\text{e)}$  

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek.

Pierwsza współrzędna punktów  $A\text{i}B$  jest taka sama. Punkty te leżą na prostej o równaniu  $x=0$ .

Prosta prostopadła do prostej $AB$  przechodzi przez środek odcinka $AB$ . Wyznaczamy współrzędne tego punktu.

$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{0+0}{2},\frac{7+5}{2}\right)=\left(\frac{0}{2},\frac{12}{2}\right)=\left(0,6\right)$  

Symetralna odcinka  $AB$  dana jest równaniem:

$y=6$  

---

$\text{f)}$  

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek.

Druga współrzędna punktów  $A\text{i}B$  jest taka sama. Punkty te leżą na prostej o równaniu  $y=0$ .

Prosta prostopadła do prostej $AB$  przechodzi przez środek odcinka $AB$ . Wyznaczamy współrzędne tego punktu.

$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{-3+5}{2},\frac{0+0}{2}\right)=\left(\frac{2}{2},\frac{0}{2}\right)=\left(1,0\right)$  

Symetralna odcinka  $AB$  dana jest równaniem:

$x=1$