a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunkach poniżej:

---

Przekątne prostokąta przecinają się w połowie, więc trójkąty BPC i FSG są równoramienne. Wynika stąd, że:

$\left|\sphericalangle CBP\right|=\left|\sphericalangle PCB\right|=\left|\sphericalangle GFS\right|=\left|\sphericalangle SGF\right|$  

W takim razie trójkąty BPC i FSG są podobne na podstawie cechy KKK. Z podobieństwa tych trójkątów:

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{\left|PB\right|}{\left|SF\right|}$  

---

Analogicznie trójkąty APB i ESF są równoramienne i stąd:

$\left|\sphericalangle BAP\right|=\left|\sphericalangle PBA\right|=\left|\sphericalangle FES\right|=\left|\sphericalangle SFE\right|$  

W takim razie trójkąty APB i ESF są podobne na podstawie cechy KKK. Z podobieństwa tych trójkątów:

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\left|PB\right|}{\left|SF\right|}$  

---

Otrzymujemy:

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$  

Odpowiednie boki prostokątów są proporcjonalne, więc prostokąty są podobne, co należało dowieść.

---

---

b) Prostokąt o bokach x i y jest podobny do prostokąta o bokach x+1 i y+1, więc odpowiednie boki tych prostokątów są proporcjonalne (boki prostokątów są proporcjonalne w takiej kolejności, w jakiej je podano). Stąd:

$\frac{x}{x+1}=\frac{y}{y+1}\mid \cdot \left(x+1\right)\left(y+1\right)$  

$x\left(y+1\right)=y\left(x+1\right)$  

$xy+x=xy+y$  

$x=y$  

Wówczas:

$x+1=y+1$  

Otrzymaliśmy, że gdy prostokąty są podobne, to ich boki mają równą długości x i x oraz x+1 i x+1. Oznacza to, że prostokąty są kwadratami, co należało dowieść.