a) Skorzystamy z twierdzenia, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie. Wynika z niego, że:

$\left|FE\right|=\frac{1}{2}\left|AB\right|$  

$\left|FG\right|=\frac{1}{2}\left|BC\right|$  

$\left|GE\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|$  

Obliczamy stosunki odpowiadających sobie boków trójkątów ABC i EFG:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|FE\right|}=\frac{\left|AB\right|}{\frac{1}{2}\left|AB\right|}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$  

$\frac{\left|BC\right|}{\left|FG\right|}=\frac{\left|BC\right|}{\frac{1}{2}\left|BC\right|}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$  

$\frac{\left|AC\right|}{\left|GE\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\frac{1}{2}\left|AC\right|}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$  

Otrzymaliśmy:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|FE\right|}=\frac{\left|BC\right|}{\left|FG\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|GE\right|}=2$  

Powyższy zapis oznacza, że odpowiednie boki trójkąta ABC są proporcjonalne do odpowiednich boków trójkąta EFG. W takim razie trójkąty ABC i EFG są podobne na podstawie cechy BBB.

---

b) Z twierdzenia przypomnianego w poprzednim podpunkcie wiemy, że:

• FE||AB
• FG||CB
• GE||AC

Proste równolegle wyznaczają kąty odpowiadające o równych miarach. Zaznaczmy je na rysunku jednakowymi kolorami:

Uzasadniliśmy, że trójkąty ABC i DEF są podobne, więc mają równe kąty. Znając kąty trójkąta ABC możemy zaznaczyć miary kątów trójkąta DEF:

Punkt F jest środkiem boku AC, więc |AF|=|FC|. W takim razie trójkąty T₁ i T₂ są przystające na postawie cechy KBK.

Punkt E jest środkiem boku BC, więc |BE|=|EC|. W takim razie trójkąty T₁ i T₄ są przystające na postawie cechy KBK.

Trójkąty T₁ i T₃ mają wspólny bok EF, więc są przystające na postawie cechy KBK.

Otrzymaliśmy, że trójkąty T₁, T₂, T₃ i T₄ są przystające, co należało dowieść.