a)

Obliczmy wartość funkcji $f$ dla $x=-4$ i $x=4$:

$f\left(-4\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)+1=-2+1=-1$

$f\left(4\right)=\frac{1}{2}\cdot 4+1=2+1=3$

Funkcja $f$ to funkcji rosnąca i jej wykresem jest prosta, więc dla $x=-4$ osiąga mniejszą wartość niż dla $x=4$, a dodatkowo osiąga wszystkie wartości pomiędzy $f\left(-4\right)$ i $f\left(4\right)$. Więc:

$f\left(D\right)=\left[-1,3\right]$ 

---

b)

Najpierw obliczmy wartość funkcji $f$ dla $x=-4$ i $x=-2$:

$f\left(-4\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)+1=-2+1=-1$

$f\left(-2\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(-2\right)+1=-1+1=0$

Następnie obliczmy wartość funkcji $f$ dla $x=0$ i $x=4$:

$f\left(0\right)=\frac{1}{2}\cdot 0+1=1$

$f\left(4\right)=\frac{1}{2}\cdot 4+1=2+1=3$

Funkcja $f$ to funkcji rosnąca i jej wykresem jest prosta, więc dla coraz większych argumentów osiąga coraz większe wartości. Dodatkowo osiąga wszystkie wartości pomiędzy $f\left(-4\right)$ i $f\left(-2\right)$ oraz pomiędzy $f\left(0\right)$ i $f\left(4\right)$. Więc:

$f\left(D\right)=\left[-1,0\right]\cup \left[1,3\right]$ 

---

c)

Najpierw obliczmy wartość funkcji $f$ dla $x=-4$ i $x=0$:

$f\left(-4\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)+1=-2+1=-1$

$f\left(0\right)=\frac{1}{2}\cdot 0+1=1$

Następnie obliczmy wartość funkcji $f$ dla $x=2$ i $x=4$:

$f\left(2\right)=\frac{1}{2}\cdot 2+1=1+1=2$

$f\left(4\right)=\frac{1}{2}\cdot 4+1=2+1=3$

Funkcja $f$ to funkcji rosnąca i jej wykresem jest prosta, więc dla coraz większych argumentów osiąga coraz większe wartości. Dodatkowo osiąga wszystkie wartości pomiędzy $f\left(-4\right)$ i $f\left(0\right)$ oraz pomiędzy $f\left(2\right)$ i $f\left(4\right)$. Patrząc na dziedzinę widzimy też, że funkcja $f$ nie jest określona dla $x=0$ i $x=2$, dlatego zapisując zbiór wartości przy $f\left(0\right)$ i $f\left(2\right)$ musimy zrobić przedział otwarty. Więc:

$f\left(D\right)=\left[-1,1)\cup (2,3\right]$