Rozwiązujemy podaną nierówność:

$\sqrt{2}x-3\sqrt{2}<6-x$

$\sqrt{2}x+x<6+3\sqrt{2}$

$x\left(\sqrt{2}+1\right)<6+3\sqrt{2}|:\left(\sqrt{2}+1\right)$

Zauważmy, że $\sqrt{2}+1>0$, więc nie zmieniamy zwrotu nierówności.

$x<\frac{6+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$

Usuniemy teraz niewymierność z mianownika otrzymanego ułamka.

$\frac{6+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=$

$=\frac{6\sqrt{2}-6+3\cdot 2-3\sqrt{2}}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-1^2}=$

$=\frac{3\sqrt{2}-6+6}{2-1}=\frac{3\sqrt{2}}{1}=3\sqrt{2}$

Zatem

$x<3\sqrt{2}$

Czyli możemy zapisać, że

$x\in \left(-\infty ,3\sqrt{2}\right)$

Zauważmy, że

$3\sqrt{2}\approx 3\cdot 1,4=4,2$

Więc liczby naturalne dodatnie spełniające podaną nierówność to: $1,2,3,4$. Są to cztery liczby, co należało uzasadnić.