a)

Z treści zadania wiemy, że

$K_1:{\left(x-3\right)}^2+y^2=4$

$K_2:{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=16$   

---

Zauważmy, że 

$S_1\left(3;0\right),R=\sqrt{4}=2,S_2\left(3;6\right),r=\sqrt{16}=4$     

 

Obliczamy odległość między środkami okręgów 

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(3-3\right)}^2+{\left(6-0\right)}^2}=\sqrt{36}=6$

---

Wiemy, że

$R+r=2+4=6$

$\left|R-r\right|=\left|2-4\right|=\left|-2\right|=2$

 

Zatem

$\underset{=6}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}=\underset{=6}{\underbrace{R+r}}$

Wnioskujemy, że okręgi są styczne zewnętrznie.     

---

b)

Z treści zadania wiemy, że

$K_1:{\left(x+2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=1$

$K_2:{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=36$   

---

Zauważmy, że 

$S_1\left(-2;-2\right),R=\sqrt{1}=1,S_2\left(-2;3\right),r=\sqrt{36}=6$     

 

Obliczamy odległość między środkami okręgów

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(-2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(3-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{25}=5$

---

Wiemy, że

$R+r=1+6=7$

$\left|R-r\right|=\left|1-6\right|=\left|-5\right|=5$

 

Zatem

$\underset{=5}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}=\underset{=5}{\underbrace{\left|R-r\right|}}$

Wnioskujemy, że okręgi są styczne wewnętrznie.     

---

c)

Z treści zadania wiemy, że

$K_1:{\left(x+2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=90$

$K_2:{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=25$   

---

Zauważmy, że 

$S_1\left(-2;-1\right),R=\sqrt{90}=3\sqrt{10},S_2\left(1;3\right),r=\sqrt{25}=5$     

 

Obliczamy odległość między środkami okręgów

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(3-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

---

Wiemy, że

$R+r=3\sqrt{10}+5\approx 14,487$

$\left|R-r\right|=\left|3\sqrt{10}-5\right|=3\sqrt{10}-5\approx 4,487$

 

Zatem

$\underset{\approx 4,487}{\underbrace{\left|R-r\right|}}<\underset{=5}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}<\underset{\approx 14,487}{\underbrace{R+r}}$

Wnioskujemy, że okręgi przecinają się.     

---

d)

Z treści zadania wiemy, że

$K_1:{\left(x+4\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=84$

$K_2:{\left(x+5\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=16$   

---

Zauważmy, że 

$S_1\left(-4;5\right),R=\sqrt{84}=2\sqrt{21},S_2\left(-5;-2\right),r=\sqrt{16}=4$     

 

Obliczamy odległość między środkami okręgów

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(-5-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(-2-5\right)}^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7,071$

---

Wiemy, że

$R+r=2\sqrt{21}+4\approx 13,165$

$\left|R-r\right|=\left|2\sqrt{21}-4\right|=2\sqrt{21}-4\approx 5,165$

 

Zatem

$\underset{\approx 5,165}{\underbrace{\left|R-r\right|}}<\underset{\approx 7,071}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}<\underset{\approx 13,165}{\underbrace{R+r}}$

Wnioskujemy, że okręgi przecinają się.     

---

e)

Z treści zadania wiemy, że

$K_1:{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-8\right)}^2=49$

$K_2:{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=4$   

---

Zauważmy, że 

$S_1\left(-1;8\right),R=\sqrt{49}=7,S_2\left(1;6\right),r=\sqrt{4}=2$     

 

Obliczamy odległość między środkami okręgów

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(6-8\right)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2,828$

---

Wiemy, że

$R+r=7+2=9$

$\left|R-r\right|=\left|7-2\right|=\left|5\right|=5$

 

Zatem

$\underset{\approx 2,828}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}<\underset{=5}{\underbrace{\left|R-r\right|}}$

Wnioskujemy, że okręgi są rozłączne wewnętrznie.     

---

f)

Z treści zadania wiemy, że

$K_1:{\left(x-7\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=49$

$K_2:{\left(x+5\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=25$   

---

Zauważmy, że 

$S_1\left(7;2\right),R=\sqrt{49}=7,S_2\left(-5;-3\right),r=\sqrt{25}=5$     

 

Obliczamy odległość między środkami okręgów

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(-5-7\right)}^2+{\left(-3-2\right)}^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$

---

Wiemy, że

$R+r=7+5=12$

$\left|R-r\right|=\left|7-5\right|=\left|2\right|=2$

 

Zatem

$\underset{=13}{\underbrace{\left|S_1{S}_2\right|}}>\underset{=12}{\underbrace{R+r}}$

Wnioskujemy, że okręgi są rozłączne zewnętrznie.