W zadaniu korzystamy ze wzoru na masę próbki promieniotwórczego izotopu po upływie czasu t

$m=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$  

gdzie m₀ - masa początkowa próbki, T - okres połowicznego rozpadu

---

a)

Wiemy, że 

$T=1600\text{lat}$

$m_0=100\text{mg}$   

$m=12,5\text{mg}$  

 

Zatem korzystając ze wzoru na masę próbki promieniotwórczego izotopu dostajemy

$12,5=100\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}\mid :100$

$\frac{12,5}{100}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$

$\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$

${\left(\frac{1}{2}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$  

$\frac{t}{1600}=3\mid \cdot 1600$

$t=4800\text{lat}$      

---

b)

Wiemy, że

$T=1600\text{lat}$

$m_0=10,24\text{mg}$   

$m=0,01\text{mg}$  

 

Zatem korzystając ze wzoru na masę próbki promieniotwórczego izotopu dostajemy

$0,01=10,24\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}\mid :10,24$

$\frac{0,01}{10,24}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$

$\frac{1}{1024}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1600}}$  

$\frac{t}{1600}=10\mid \cdot 1600$

$t=16000\text{lat}$