a)

Wiemy, że wykres ciągu arytmetycznego zawiera się w prostej będącej wykresem funkcji liniowej.

Z rysunku odczytujemy, że zaznaczone punkty, to punkty o współrzędnych (1, -1) oraz (5, 1).

Wobec tego wyznaczmy wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez zaznaczone punkty.

$y=ax+b$

Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego prostej

$a=\frac{1+1}{5-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Podstawiamy do równania

$y=\frac{1}{2}x+b$

współrzędne jednego z punktów, np. punktu (1, -1) i wyznaczamy wartość współczynnika b.

$-1=\frac{1}{2}\cdot 1+b\mid -\frac{1}{2}$

$b=-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$

Wnioskujemy, że równanie prostej ma postać

$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$

Wobec tego, jeżeli wykres ciągu zawiera się w prostej, to jego wzór ogólny możemy zapisać jako:

$a_n=\frac{1}{2}n-\frac{3}{2},n\in {\mathbb{N}}_{+}$     

---

Sprawdzamy, które wyrazy ciągu (a_n) są większe od zera.

$a_n>0\text{gdy}\frac{1}{2}n-\frac{3}{2}>0$

Rozwiązujemy nierówność

$\frac{1}{2}n-\frac{3}{2}>0\mid +\frac{3}{2}$

$\frac{1}{2}n>\frac{3}{2}\mid \cdot 2$

$n>3$     

Zatem wnioskujemy, że

$a_n>0\text{gdy}n\ge 4,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

---

---

b)

Wiemy, że wykres ciągu arytmetycznego zawiera się w prostej będącej wykresem funkcji liniowej.

Z rysunku odczytujemy, że zaznaczone punkty, to punkty o współrzędnych (3, 3) oraz (5, -1).

Wobec tego wyznaczmy wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez zaznaczone punkty.

$y=ax+b$

Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego prostej

$a=\frac{-1-3}{5-3}=-\frac{4}{2}=-2$

Podstawiamy do równania

$y=-2x+b$

współrzędne jednego z punktów, np. punktu (3, 3) i wyznaczamy wartość współczynnika b.

$3=-2\cdot 3+b\mid +6$

$b=9$

Wnioskujemy, że równanie prostej ma postać

$y=-2x+9$

Wobec tego, jeżeli wykres ciągu zawiera się w prostej, to jego wzór ogólny możemy zapisać jako:

$a_n=-2n+9,n\in {\mathbb{N}}_{+}$     

---

Sprawdzamy, które wyrazy ciągu (a_n) są większe od zera.

$a_n>0\text{gdy}-2n+9>0$

Rozwiązujemy nierówność

$-2n+9>0\mid -9$

$-2n>-9\mid :\left(-2\right)$

$n<4,5$     

Zatem wnioskujemy, że

$a_n>0\text{gdy}n\le 4,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

---

---

c)

Wiemy, że wykres ciągu arytmetycznego zawiera się w prostej będącej wykresem funkcji liniowej.

Z rysunku odczytujemy, że zaznaczone punkty, to punkty o współrzędnych (2, 2) oraz (6, 1).

Wobec tego wyznaczmy wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez zaznaczone punkty.

$y=ax+b$

Wyznaczamy wartość współczynnika kierunkowego prostej

$a=\frac{1-2}{6-2}=-\frac{1}{4}$

Podstawiamy do równania

$y=-\frac{1}{4}x+b$

współrzędne jednego z punktów, np. punktu (2, 2) i wyznaczamy wartość współczynnika b.

$2=-\frac{1}{4}\cdot 2+b\mid +\frac{1}{2}$

$b=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Wnioskujemy, że równanie prostej ma postać

$y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}$

Wobec tego, jeżeli wykres ciągu zawiera się w prostej, to jego wzór ogólny możemy zapisać jako:

$a_n=-\frac{1}{4}n+\frac{5}{2},n\in {\mathbb{N}}_{+}$     

---

Sprawdzamy, które wyrazy ciągu (a_n) są większe od zera.

$a_n>0\text{gdy}-\frac{1}{4}n+\frac{5}{2}>0$

Rozwiązujemy nierówność

$-\frac{1}{4}n+\frac{5}{2}>0\mid -\frac{5}{2}$

$-\frac{1}{4}n>-\frac{5}{2}\mid \cdot \left(-4\right)$

$n<10$     

Zatem wnioskujemy, że

$a_n>0\text{gdy}n\le 9,n\in {\mathbb{N}}_{+}$