a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_{n+1}=2a_n-n^2\text{,}n\ge 1\end{array}$  

Wyznaczamy wyrazy ciągu. 

$a_2=a_{1+1}=2a_1-1^2=2\cdot 1-1=2-1=1$  

$a_3=a_{2+1}=2a_2-2^2=2\cdot 1-1=2-4=-2$  

$a_4=a_{3+1}=2a_3-3^2=2\cdot \left(-2\right)-9=-4-9=-13$  

$a_5=a_{4+1}=2a_4-4^2=2\cdot \left(-13\right)-16=-26-16=-42$  

$a_6=a_{5+1}=2a_5-5^2=2\cdot \left(-42\right)-25=-84-25=-109$  

---

Zauważamy, że wśród sześciu początkowych wyrazów ciągu są 4 liczby ujemne. 

---

---

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=-2\\ a_{n+1}=2-n{a}_n\text{,}n\ge 1\end{array}$  

Wyznaczamy wyrazy ciągu.

$a_2=a_{1+1}=2-1\cdot a_1=2-\left(-2\right)=2+2=4$  

$a_3=a_{2+1}=2-2\cdot a_2=2-2\cdot 4=2-8=-6$  

$a_4=a_{3+1}=2-3\cdot a_3=2-3\cdot \left(-6\right)=2+18=20$  

$a_5=a_{4+1}=2-4\cdot a_4=2-4\cdot 20=2-80=-78$  

$a_6=a_{5+1}=2-5\cdot a_5=2-5\cdot \left(-78\right)=2+390=392$  

---

Zauważamy, że wśród sześciu początkowych wyrazów ciągu są 3 liczby ujemne. 

---

---

c)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=-1\\ a_{n+1}=a_n^2+4a_n\text{,}n\ge 1\end{array}$  

Wyznaczamy wyrazy ciągu.

$a_2=a_{1+1}=a_1^2+4a_1={\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)=1-4=-3$  

$a_3=a_{2+1}=a_2^2+4a_2={\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)=9-12=-3$  

$a_4=a_{3+1}=a_3^2+4a_3={\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)=9-12=-3$  

$a_5=a_{4+1}=a_4^2+4a_4={\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)=9-12=-3$  

$a_6=a_{5+1}=a_5^2+4a_5={\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)=9-12=-3$  

---

Zauważamy, że wśród sześciu początkowych wyrazów ciągu jest 6 liczb ujemnych. 

---

---

d)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=2\\ a_{n+1}=a_n^2-n{a}_n-4\text{,}n\ge 1\end{array}$  

Wyznaczamy wyrazy ciągu.

$a_2=a_{1+1}=a_1^2-1\cdot a_1-4=2^2-1\cdot 2-4=4-2-4=-2$  

$a_3=a_{2+1}=a_2^2-2\cdot a_2-4={\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)-4=4+4-4=4$  

$a_4=a_{3+1}=a_3^2-3\cdot a_3-4=4^2-3\cdot 4-4=16-12-4=0$  

$a_5=a_{4+1}=a_4^2-4\cdot a_4-4=0^2-4\cdot 0-4=-4$  

$a_6=a_{5+1}=a_5^2-5\cdot a_5-4={\left(-4\right)}^2-5\cdot \left(-4\right)-4=16+20-4=32$  

---

Zauważamy, że wśród sześciu początkowych wyrazów ciągu są 2 liczby ujemne.