a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=0\text{,}{a}_2=2\\ a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\text{dla}n\ge 2\end{array}$  

Wyznaczamy wyrazy ciągu. 

$a_3=a_{2+1}=a_2+a_{2-1}=2+a_1=2+0=2$

$a_4=a_{3+1}=a_3+a_{3-1}=2+a_2=2+2=4$

$a_5=a_{4+1}=a_4+a_{4-1}=4+a_3=4+2=6$

$a_6=a_{5+1}=a_5+a_{5-1}=6+a_4=6+4=10$     

---

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1\text{,}{a}_2=3\\ a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\text{dla}n\ge 2\end{array}$  

Wyznaczamy wyrazy ciągu. 

$a_3=a_{2+1}=a_2+a_{2-1}=3+a_1=3+1=4$

$a_4=a_{3+1}=a_3+a_{3-1}=4+a_2=4+3=7$

$a_5=a_{4+1}=a_4+a_{4-1}=7+a_3=7+4=11$

$a_6=a_{5+1}=a_5+a_{5-1}=11+a_4=11+7=18$   

---

c)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1\text{,}{a}_2=1\\ a_{n+1}=a_n^2-a_{n-1}\text{dla}n\ge 2\end{array}$  

Wyznaczamy wyrazy ciągu. 

$a_3=a_{2+1}=a_2^2-a_{2-1}=1^2-a_1=1-1=0$

$a_4=a_{3+1}=a_3^2-a_{3-1}=0^2-a_2=0-1=-1$

$a_5=a_{4+1}=a_4^2-a_{4-1}={\left(-1\right)}^2-a_3=1-0=1$

$a_6=a_{5+1}=a_5^2-a_{5-1}=1^2-a_4=1-\left(-1\right)=1+1=2$   

---

d)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest określony rekurencyjnie:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=2\text{,}{a}_2=1\\ a_{n+1}=a_n\cdot a_{n-1}-n\text{dla}n\ge 2\end{array}$  

Wyznaczamy wyrazy ciągu. 

$a_3=a_{2+1}=a_2\cdot a_{2-1}-2=1\cdot a_1-2=1\cdot 2-2=2-2=0$

$a_4=a_{3+1}=a_3\cdot a_{3-1}-3=0\cdot a_2-3=-3$

$a_5=a_{4+1}=a_4\cdot a_{4-1}-4=\left(-3\right)\cdot a_3-4=\left(-3\right)\cdot 0-4=-4$

$a_6=a_{5+1}=a_5\cdot a_{5-1}-5=\left(-4\right)\cdot a_4-5=\left(-4\right)\cdot \left(-3\right)-5=12-5=7$