x, 16-x - szukane liczby

---

a) Obliczamy iloczyn liczb x oraz 16-x:

$x\left(16-x\right)=16x-x^2=-x^2+16x$  

Iloczyn liczb x oraz 16-x jest funkcją kwadratową zmiennej x:

$f\left(x\right)=-x^2+16x=-\left(x^2-16x\right)=-\left(x^2-16x+64-64\right)=-\left(x^2-16x+64\right)+64=-{\left(x-8\right)}^2+64$  

Chcemy, by iloczyn liczb był największy, czyli by funkcja y=f(x) przyjmowała największą wartość. Współczynnik przy x² jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu i funkcja przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli.

Ze wzoru funkcji f w postaci kanonicznej możemy odczytać, że wierzchołkiem paraboli jest punkt (8, 64), więc funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu x=8 i największa wartości funkcji jest równa 64.

Największa wartość, jaką może przyjąć iloczyn danych liczb, to: 64.

---

b) Obliczamy sumę kwadratów liczb x oraz 16-x:

$x^2+{\left(16-x\right)}^2=x^2+256-32x+x^2=2x^2-32x+256$  

Suma kwadratów liczb x oraz 16-x jest funkcją kwadratową zmiennej x:

$f\left(x\right)=2x^2-32x+256=2\left(x^2-16x+128\right)=2\left(x^2-16x+64+64\right)=2\left(x^2-16x+64\right)+128=2{\left(x-8\right)}^2+128$  

Chcemy, by suma kwadratów liczb była najmniejsza, czyli by funkcja y=f(x) przyjmowała najmniejszą wartość. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry i funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli.

Ze wzoru funkcji f w postaci kanonicznej możemy odczytać, że wierzchołkiem paraboli jest punkt (8, 128), więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu x=8 i najmniejsza wartości funkcji jest równa 128.

Najmniejsza wartość, jaką może przyjąć suma kwadratów danych liczb, to: 128.