Rozwiąż nierówność.- Zadanie 7: NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) 2 (x - 3)^{2} + (x + 1)^{2} - (x + 4)^{2} + 33 \leq 0$

$2 (x^{2} - 6 x + 9) + (x^{2} + 2 x + 1) - (x^{2} + 8 x + 16) + 33 \leq 0$

$2 x^{2} - 12 x + 18 + x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + 33 \leq 0$

$2 x^{2} - 18 x + 36 \leq 0 ∣ : 2$

$x^{2} - 9 x + 18 \leq 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = (- 9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9, Δ = 9 = 3$

$x_{1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3, x_{2} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Pierwiastki trójmianu zaznaczamy na osi X. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry, przechodzącą przez zaznaczone punkty.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x \in ⟨ 3, 6 ⟩$

$b) (4 - x) (2 x + 3) - (x + 1)^{2} - \frac{x - 3}{2} - 24 > 0 ∣ \cdot 2$

$2 (4 - x) (2 x + 3) - 2 (x + 1)^{2} - (x - 3) - 48 > 0$

$2 (8 x + 12 - 2 x^{2} - 3 x) - 2 (x^{2} + 2 x + 1) - x + 3 - 48 > 0$

$2 (- 2 x^{2} + 5 x + 12) - 2 x^{2} - 4 x - 2 - x - 45 > 0$

$- 4 x^{2} + 10 x + 24 - 2 x^{2} - 5 x - 47 > 0$

$- 6 x^{2} + 5 x - 23 > 0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu po lewej stronie nierówności:

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 23) = 25 - 24 \cdot 23 = 25 - 552 = - 527 < 0$

Δ<0, więc trójmian nie ma pierwiastków. Współczynnik przy x² jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu i parabola znajduje się pod osią X.