$\text{a)}2x^2-3\sqrt{3}x-9=0$  

$\Delta ={\left(-3\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-9\right)=27+72=99,\sqrt{\Delta }=\sqrt{99}=\sqrt{9\cdot 11}=3\sqrt{11}$  

Δ>0, więc równanie ma 2 rozwiązania.

$x_1=\frac{3\sqrt{3}-3\sqrt{11}}{2\cdot 2}=\frac{3\sqrt{3}-3\sqrt{11}}{4}\text{lub}{x}_2=\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{11}}{2\cdot 2}=\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{11}}{4}$  

---

$\text{b)}5x^2+\sqrt{5}x+\frac{1}{5}=0$  

$\Delta ={\left(\sqrt{5}\right)}^2-4\cdot 5\cdot \frac{1}{5}=5-4=1,\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$  

Δ>0, więc równanie ma 2 rozwiązania.

$x_1=\frac{-\sqrt{5}-1}{2\cdot 5}=\frac{-1-\sqrt{5}}{10}\text{lub}{x}_2=\frac{-\sqrt{5}+1}{2\cdot 5}=\frac{1-\sqrt{5}}{10}$  

---

$\text{c)}{x}^2+3=\sqrt{3}x$  

$x^2-\sqrt{3}x+3=0$  

$\Delta ={\left(-\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=3-12=-9<0$  

Δ<0, więc równanie nie ma rozwiązań.

---

$\text{d)}2\sqrt{2}\left(1+x^2-\sqrt{2}\right)=4\left(\sqrt{2}x-1\right)\mid :2$  

$\sqrt{2}\left(1+x^2-\sqrt{2}\right)=2\left(\sqrt{2}x-1\right)$  

$\sqrt{2}+\sqrt{2}{x}^2-2=2\sqrt{2}x-2$  

$\sqrt{2}{x}^2-2\sqrt{2}x+\sqrt{2}=0\mid :\sqrt{2}$  

$x^2-2x+1=0$  

Do wyrażenia po lewej stronie równania stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

${\left(x-1\right)}^2=0$  

$x-1=0$  

$x=1$  

---

$\text{e)}\left(\sqrt{7}x+1\right)\left(\sqrt{7}-x\right)=3\left(2\sqrt{7}-x\right)$  

$7x-\sqrt{7}{x}^2+\sqrt{7}-x=6\sqrt{7}-3x$  

$-\sqrt{7}{x}^2+6x+\sqrt{7}=6\sqrt{7}-3x$  

$-\sqrt{7}{x}^2+9x-5\sqrt{7}=0$  

$\Delta =9^2-4\cdot \left(-\sqrt{7}\right)\cdot \left(-5\sqrt{7}\right)=81-140=-59<0$  

Δ<0, więc równanie nie ma rozwiązań.

---

$\text{f)}{\left(2\sqrt{2}x+1\right)}^2-2x\left(\sqrt{2}+x\right)=2\frac{1}{6}$  

$8x^2+4\sqrt{2}x+1-2\sqrt{2}x-2x^2=\frac{13}{6}$  

$6x^2+2\sqrt{2}x+\frac{6}{6}=\frac{13}{6}$  

$6x^2+2\sqrt{2}x-\frac{7}{6}=0$  

$\Delta ={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 6\cdot \left(-\frac{7}{6}\right)=8+28=36,\sqrt{\Delta }=\sqrt{36}=6$  

Δ>0, więc równanie ma 2 rozwiązania.

$x_1=\frac{-2\sqrt{2}-6}{2\cdot 6}=\frac{-3-\sqrt{2}}{6}\text{lub}{x}_2=\frac{-2\sqrt{2}+6}{2\cdot 6}=\frac{3-\sqrt{2}}{6}$