Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Ponadto oznaczmy:

$\left|AB\right|=\left|AC\right|=a$  

Ze wzoru na przekątną kwadratu:

$\left|BC\right|=a\sqrt{2}$  

---

Przypadek 1 - dany odcinek jest dłuższy, czyli:

$\left|DB\right|=\sqrt{2}$

Z twierdzenia o dwusiecznej:

$\frac{\left|AD\right|}{\left|DB\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}$  

$\frac{\left|AD\right|}{\sqrt{2}}=\frac{a}{a\sqrt{2}}$  

$\frac{\left|AD\right|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mid \cdot \sqrt{2}$  

$\left|AD\right|=1$  

---

Przypadek 2 - dany odcinek jest krótszy, czyli:

$\left|AD\right|=\sqrt{2}$

Z twierdzenia o dwusiecznej:

$\frac{\left|AD\right|}{\left|DB\right|}=\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}$  

$\frac{\sqrt{2}}{\left|DB\right|}=\frac{a}{a\sqrt{2}}$  

$\frac{\sqrt{2}}{\left|DB\right|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{|}\cdot \left|DB\right|\sqrt{2}$  

$2=\left|DB\right|$  

$\left|DB\right|=2$  

---

Odp. Szukany odcinek ma długość 1 lub 2.