a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

|AO|=|BO|=|CO|=|DO| (odcinki mają długość promienia okręgu)

Jeżeli |AB|=|CD|, to trójkąty AOB i DOC są przystające na podstawie cechy BBB.

Z sumy kątów dla trójkąta AOB:

$\beta ={180}^{\circ }-2\alpha$  

---

Kąty β, 𝜹, β, 𝝺 tworzą kąt pełny. Stąd:

$\beta +\delta +\beta +\lambda ={360}^{\circ }$  

$2\beta +\delta +\lambda ={360}^{\circ }$  

$2\cdot \left({180}^{\circ }-2\alpha \right)+\delta +\lambda ={360}^{\circ }$  

${360}^{\circ }-4\alpha +\delta +\lambda ={360}^{\circ }$  

$-4\alpha +\delta +\lambda =0$  

$\delta +\lambda =4\alpha \mid :2$  

$\frac{1}{2}\delta +\frac{1}{2}\lambda =2\alpha \left(1\right)$  

---

Z sumy kątów dla trójkąta AOD:

$2\epsilon +\lambda ={180}^{\circ }\mid :2$  

$\epsilon +\frac{1}{2}\lambda ={90}^{\circ }\left(2\right)$  

---

Z sumy kątów dla trójkąta COB:

$2\gamma +\delta ={180}^{\circ }\mid :2$  

$\gamma +\frac{1}{2}\delta ={90}^{\circ }\left(3\right)$  

---

Dodajemy równania (2) i (3) stronami.

$\gamma +\epsilon +\underset{2\alpha }{\underbrace{\frac{1}{2}\lambda +\frac{1}{2}\delta }}={180}^{\circ }$  

Podstawiamy z równania (1).

$\gamma +\epsilon +2\alpha ={180}^{\circ }$  

Otrzymaliśmy, że suma miar kątów przy jednym ramieniu czworokąta ABCD jest równa 180°, czyli czworokąt ABCD jest trapezem. Trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych, więc BC||AD, co należało dowieść.

---

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Mamy dane:

$R=5\text{cm}$  

$a=6\text{cm}$  

---

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta AEO:

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+h^2=R^2$  

$3^2+h^2=5^2$  

$9+h^2=25$  

$h^2=16$  

$h=4\left[\text{cm}\right]$  

---

Ze wzoru na pole trójkąta dla trójkąta AOB:

$\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}xR\mid \cdot 2$  

$ah=xR$  

$6\cdot 4=x\cdot 5$  

$24=5x\mid :5$  

$x=\frac{24}{5}=\frac{48}{10}=4,8\left[\text{cm}\right]$  

Wówczas:

$\left|AC\right|=2x=2\cdot 4,8=9,6\left[\text{cm}\right]$  

---

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta ADB:

${\left|AD\right|}^2+{\left|DB\right|}^2={\left|AB\right|}^2$  

$x^2+{\left|DB\right|}^2=a^2$  

${\left(4,8\right)}^2+{\left|DB\right|}^2=6^2$  

$23,04+{\left|DB\right|}^2=36$  

${\left|DB\right|}^2=12,96$  

$\left|DB\right|=3,6\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy pole trójkąta ABC:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|DB\right|=\frac{1}{2}\cdot 9,6\cdot 3,6=4,8\cdot 3,6=17,28\left[{\text{cm}}^2\right]$