Wyznacz równanie ogólne i kierunkowe...- Zadanie 1: NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Niech prosta PR dana będzie równaniem:

$y = a x + b$

a) Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej:

$a = \frac{y _{R} - y _{P}}{x _{R} - x _{P}} = \frac{- 7 - 0}{2 - 0} = - \frac{7}{2}$

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$y = - \frac{7}{2} x + b$

Podstawiamy współrzędne punktu P do równania prostej i wyznaczamy b:

$0 = - \frac{7}{2} \cdot 0 + b$

$b = 0$

Otrzymujemy równanie prostej w postaci kierunkowej:

$\underline{y = - \frac{7}{2} x}$

Przekształcamy równanie prostej do postaci ogólnej:

$y = - \frac{7}{2} x$

$\frac{7}{2} x + y = 0 ∣ \cdot 2$

$\underline{7 x + 2 y = 0}$

b) Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej:

$a = \frac{y _{R} - y _{P}}{x _{R} - x _{P}} = \frac{0 , 35 - \frac{1}{4}}{0 , 6 - \frac{1}{2}} = \frac{0 , 35 - 0 , 25}{0 , 6 - 0 , 5} = \frac{0 , 1}{0 , 1} = 1$

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$y = x + b$

Podstawiamy współrzędne punktu P do równania prostej i wyznaczamy b:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2} + b$

$\frac{1}{4} = \frac{2}{4} + b$

$b = - \frac{1}{4}$

Otrzymujemy równanie prostej w postaci kierunkowej:

$\underline{y = x - \frac{1}{4}}$

Przekształcamy równanie prostej do postaci ogólnej:

$y = x - \frac{1}{4}$

$x - y - \frac{1}{4} = 0 ∣ \cdot 4$

$\underline{4 x - 4 y - 1 = 0}$

c) Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej:

$a = \frac{y _{R} - y _{P}}{x _{R} - x _{P}} = \frac{4 8 - 2 8}{2 2 - 3 2} = \frac{2 8}{- 2} = \frac{2 \cdot 2 2}{- 2} = \frac{4 2}{- 2} = - 4$

Wówczas równanie prostej przyjmuje postać:

$y = - 4 x + b$

Podstawiamy współrzędne punktu P do równania prostej i wyznaczamy b:

$28 = - 4 \cdot 32 + b$

$2 \cdot 22 = - 122 + b$

$42 = - 122 + b$

$b = 162$

Otrzymujemy równanie prostej w postaci kierunkowej:

$\underline{y = - 4 x + 162}$

Przekształcamy równanie prostej do postaci ogólnej:

$y = - 4 x + 162$

$\underline{4 x + y - 162 = 0}$

d) Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej:

$a = \frac{y _{R} - y _{P}}{x _{R} - x _{P}} = \frac{3 + 2 - ( 1 + 2 )}{5 - 2 - ( 1 - 2 )} = \frac{3 + 2 - 1 - 2}{5 - 2 - 1 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$