$\text{a)}\left|x-2\right|=m$  

Szkicujemy wykres funkcji y=|x-2|.

We wspólnym układzie współrzędnych naszkicujmy kilka prostych o równaniu y=m dla wybranych wartości parametru m.

---

Z rysunku odczytujemy, że:

• równania |x-2|=-5 oraz |x-2|=-2 nie mają rozwiązań,
• równanie |x-2|=0 ma jedno rozwiązanie,
• równania |x-2|=2 oraz |x-2|=5 mają dwa rozwiązania.

---

Uogólniając otrzymane wyniki dla dowolnego m, otrzymujemy, że:

• dla m ∈ (-oo, 0) równanie nie ma rozwiązań (ma 0 rozwiązań),
• dla m=0 równanie ma jedno rozwiązanie,
• dla m ∈ (0, +oo) równanie ma dwa rozwiązania.

---

---

$\text{b)}\left|x-m\right|=4$  

Z własności wartości bezwzględnej:

$x-m=4\text{lub}x-m=-4$  

$x=m+4\text{lub}x=m-4$  

Powyższe dwa rozwiązania są określone dla dowolnego m ∈ R.

Zatem równanie ma 2 rozwiązania dla każdego m ∈ R.

---

$\text{c)}\left|x+4\right|+x=m$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x+4\right|=\{\begin{array}{l}x+4\text{dla}x\ge -4\\ -\left(x+4\right)\text{dla}x<-4\end{array}$  

Zatem:

$\left|x+4\right|+x=\{\begin{array}{l}x+4+x\text{dla}x\ge -4\\ -x-4+x\text{dla}x<-4\end{array}$  

$\left|x+4\right|+x=\{\begin{array}{l}2x+4\text{dla}x\ge -4\\ -4\text{dla}x<-4\end{array}$  

Szkicujemy wykres funkcji y=|x+4|+x.

We wspólnym układzie współrzędnych naszkicujmy kilka prostych o równaniu y=m dla wybranych wartości parametru m.

---

Z rysunku odczytujemy, że:

• równanie |x+4|+x=-5  nie ma rozwiązań,
• równanie |x+4|+x=-4 ma nieskończenie wiele rozwiązań,
• równania |x+4|+x=0, |x+4|+x=2 oraz |x+4|+x=5 mają jedno rozwiązanie.

---

Uogólniając otrzymane wyniki dla dowolnego m, otrzymujemy, że:

• dla m ∈ (-oo, -4) równanie nie ma rozwiązań (ma 0 rozwiązań),
• dla m=-4 równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań,
• dla m ∈ (-4, +oo) równanie ma jedno rozwiązanie.

---

---

$\text{d)}\left|\left|x\right|-3\right|=m$  

Szkicujemy wykres funkcji y=|x|.

---

Wykres funkcji y=|x| przesuwamy o wektor [0, -3] - otrzymujemy wykres funkcji y=|x|-3.

---

Na podstawie wykresu funkcji y=|x|-3 szkicujemy wykres funkcji y=||x|-3|.

---

We wspólnym układzie współrzędnych naszkicujmy kilka prostych o równaniu y=m dla wybranych wartości parametru m.

---

Z rysunku odczytujemy, że:

• równanie ||x|-3|=-5  nie ma rozwiązań,
• równania ||x|-3|=0 oraz ||x|-3|=3,5 mają dwa rozwiązania,
• równanie ||x|-3|=3 ma 3 rozwiązania,
• równanie ||x|-3|=2 ma cztery rozwiązania.

---

Uogólniając otrzymane wyniki dla dowolnego m, otrzymujemy, że:

• dla m ∈ (-oo, 0) równanie nie ma rozwiązań (ma 0 rozwiązań),
• dla m ∈ {0}∪(3, +oo) równanie ma dwa rozwiązania,
• dla m ∈ (0, 3) równanie ma cztery rozwiązania,
• dla m=3 równanie ma trzy rozwiązania.