Rozwiąż graficznie układ równań...- Zadanie 1: NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) {4 x - y = - 12 x + 3 = 0$

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

${y = 4 x + 12 x = - 3$

Do wykresu funkcji y=4x+12 należą punkty (-4, -4) oraz (-2, 4).

Wykres funkcji x=-3 przechodzi przez punkty (-3, -2) oraz (-3, 3).

Szkicujemy obie proste we wspólnym układzie współrzędnych:

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych: P=(-3, 0).

Sprawdzamy poprawność rozwiązania, podstawiając współrzędne punktu P do obu równań w układzie.

Sprawdzamy, że punkt P=(-3, 0) spełnia pierwsze równanie w układzie:

$L = 4 \cdot (- 3) - 0 = - 12 = P$

Sprawdzamy, że punkt P=(-3, 0) spełnia drugie równanie w układzie:

$L = - 3 + 3 = 0 = P$

Rozwiązaniem układu jest więc para liczb: x=-3, y=0.

$b) {x + 4 y = 5 4 x + y = 5$

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

${4 y = - x + 5 ∣ : 4 y = - 4 x + 5$

${y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4} y = - 4 x + 5$

Do wykresu funkcji y=-¼x+⁵/₄ należą punkty (-3, 2) oraz (5, 0).

Wykres funkcji y=-4x+5 przechodzi przez punkty (0, 5) oraz (2, -3).

Szkicujemy obie proste we wspólnym układzie współrzędnych:

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych: P=(1, 1).

Sprawdzamy poprawność rozwiązania, podstawiając współrzędne punktu P do obu równań w układzie.

Sprawdzamy, że punkt P=(1, 1) spełnia pierwsze równanie w układzie:

$L = 1 + 4 \cdot 1 = 1 + 4 = 5 = P$

Sprawdzamy, że punkt P=(1, 1) spełnia drugie równanie w układzie:

$L = 4 \cdot 1 + 1 = 4 + 1 = 5 = P$

Rozwiązaniem układu jest więc para liczb: x=1, y=1.

$c) {2 x + 3 y = 6 x + 2 y = 2$

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

${3 y = - 2 x + 6 ∣ : 3 2 y = - x + 2 ∣ : 2$

${y = - \frac{2}{3} x + 2 y = - \frac{1}{2} x + 1$

Do wykresu funkcji y=-²/₃x+2 należą punkty (0, 2) oraz (3, 0).

Wykres funkcji y=-½x+1 przechodzi przez punkty (0, 1) oraz (2, 0).

Szkicujemy obie proste we wspólnym układzie współrzędnych:

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych: P=(6, -2).

Sprawdzamy poprawność rozwiązania, podstawiając współrzędne punktu P do obu równań w układzie.

Sprawdzamy, że punkt P=(6, -2) spełnia pierwsze równanie w układzie:

$L = 2 \cdot 6 + 3 \cdot (- 2) = 12 - 6 = 6 = P$

Sprawdzamy, że punkt P=(6, -2) spełnia drugie równanie w układzie:

$L = 6 + 2 \cdot (- 2) = 6 - 4 = 2 = P$

Rozwiązaniem układu jest więc para liczb: x=6, y=-2.

$d) {6 x - 2 y = - 2 3 y - 9 x = 6$

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

${- 2 y = - 6 x - 2 ∣ : (- 2) 3 y = 9 x + 6 ∣ : 3$

${y = 3 x + 1 y = 3 x + 2$

Do wykresu funkcji y=3x+1 należą punkty (-2, -5) oraz (1, 4).

Wykres funkcji y=3x+2 przechodzi przez punkty (-1, -1) oraz (0, 2).

Szkicujemy obie proste we wspólnym układzie współrzędnych:

Narysowane proste są równoległe - nie mają punktów wspólnych. Oznacza to, że układ równań jest sprzeczny (nie ma rozwiązania).

Przekształcone do postaci kierunkowych równania prostych są algebraicznym sprawdzeniem poprawności rozwiązania. Proste mają takie same współczynniki kierunkowe, więc ich wykresy są równoległe.

$e) {x + y = 5 3 x - 2 y = - 15$

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

${y = - x + 5 - 2 y = - 3 x - 15 : (- 2)$

${y = - x + 5 y = \frac{3}{2} x + \frac{15}{2}$

Do wykresu funkcji y=-x+5 należą punkty (1, 4) oraz (3, 2).

Wykres funkcji y=³/₂x+¹⁵/₂ przechodzi przez punkty (-5, 0) oraz (-3, 3).

Szkicujemy obie proste we wspólnym układzie współrzędnych:

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych: P=(-1, 6).

Sprawdzamy poprawność rozwiązania, podstawiając współrzędne punktu P do obu równań w układzie.

Sprawdzamy, że punkt P=(-1, 6) spełnia pierwsze równanie w układzie:

$L = - 1 + 6 = 5 = P$

Sprawdzamy, że punkt P=(-1, 6) spełnia drugie równanie w układzie:

$L = 3 \cdot (- 1) - 2 \cdot 6 = - 3 - 12 = - 15 = P$

Rozwiązaniem układu jest więc para liczb: x=-1, y=6.

$f) {6 x + 3 y = 6 4 x + 2 y = 4$

Przekształcamy równania w układzie do postaci kierunkowej:

${3 y = - 6 x + 6 ∣ : 3 2 y = - 4 x + 4 ∣ : 2$

${y = - 2 x + 2 y = - 2 x + 2$

Oba równania opisują tę samą prostą o równaniu kierunkowym y=-2x+2 [przechodzi ona przez punkty (3, 2) oraz (1, 0)]. Układ ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań - są nimi wszystkie pary liczb postaci (x, -2x+2), gdzie x ∈ R.