$\text{a)}$  

Przekątna kwadratu o boku długości  $a$  jest równa:

$a\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}a$  

Przyjmijmy, że długość boku kwadratu jest liczbą wymierną, np.:

$a=1$  

Przekątna kwadratu będzie liczbą niewymierną:

$a\cdot \sqrt{2}=1\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$  

Pole tego kwadratu będzie liczbą wymierną:

$a^2=1^2=1\in \mathbb{Q}$   

---

Przyjmijmy, że długość boku kwadratu jest liczbą niewymierną, np.:

$a=\sqrt{2}$  

Przekątna kwadratu będzie liczbą wymierną:

$a\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\in \mathbb{Q}$  

Pole tego kwadratu będzie liczbą wymierną:

${\left(\sqrt{2}\right)}^2=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\in \mathbb{Q}$  

 

Długość przekątnej kwadratu, którego pole wyraża się liczbą wymierną może być liczbą wymierną lub niewymierną.

---

$\text{b)}$  

Jeżeli obwód trójkąta równobocznego wyraża się liczbą niewymierną, to bok tego trójkąta jest liczbą niewymierną.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości  $a$  jest równa:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Przyjmijmy, że długość boku trójkąta równobocznego jest równa:

$a=\sqrt{3}$  

Wysokość trójkąta będzie liczbą wymierną:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\in \mathbb{Q}$  

Obwód będzie liczbą niewymierną:

$3\cdot a=3\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$  

---

Przyjmijmy, że długość boku trójkąta równobocznego jest równa:

$a=\sqrt{2}$  

Wysokość trójkąta będzie liczbą niewymierną:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\in \mathbb{Q}$  

Obwód będzie liczbą niewymierną:

$3\cdot a=3\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$  

 

Długość wysokości trójkąta równobocznego, którego pole wyraża się liczbą wymierną może być liczbą wymierną lub niewymierną.

---

$\text{c)}$  

Przekątna sześcianu o boku długości  $a$  jest równa:

$a\sqrt{3}$  

 

Przyjmijmy, że długość krawędzi sześcianu jest liczbą wymierną.

$a=2$  

Przekątna sześcianu będzie liczbą niewymierną:

$a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$  

Objętość sześcianu będzie liczbą wymierną:

$a^3=2^3=8\in \mathbb{Q}$  

---

Przyjmijmy, że długość krawędzi sześcianu jest liczbą niewymierną.

$a=\sqrt{3}$  

Przekątna sześcianu będzie liczbą wymierną:

$a\sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3\in \mathbb{Q}$  

Objętość sześcianu będzie liczbą niewymierną:

$a^3={\left(\sqrt{3}\right)}^3=3\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$  

 

Długość przekątnej sześcianu, którego objętość wyraża się liczbą wymierną jest liczbą niewymierną.