Zauważmy, że reszty z dzielenia kwadratów kolejnych liczb naturalnych przez 3 powtarzają się: 

$\underset{3\cdot 0+0}{\underbrace{0^2=0}},\underset{3\cdot 0+1}{\underbrace{1^2=1}},\underset{3\cdot 1+1}{\underbrace{2^2=4}},\underset{3\cdot 3+0}{\underbrace{3^2=9}},\underset{3\cdot 5+1}{\underbrace{4^2=16}},\underset{3\cdot 8+1}{\underbrace{5^2=25}},$  

$\underset{3\cdot 12+0}{\underbrace{6^2=36}},\underset{3\cdot 16+1}{\underbrace{7^2=49}},\underset{3\cdot 21+1}{\underbrace{8^2=64}},\underset{3\cdot 27+0}{\underbrace{9^2=81}},\underset{3\cdot 33+1}{\underbrace{{10}^2=100}},\underset{3\cdot 40+1}{\underbrace{{11}^2=121}},\dots$  

Jeżeli podstawa potęgi jest wielokrotnością liczby 3, to reszta z dzielenia tej liczby przez 3 będzie równa 0.

Reszty z dzielenia kwadratu liczby naturalnej przez 3 są równe 0 lub 1.