Rozwiąż równanie. Podaj krotność każdego...- Zadanie 3: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

$a) x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 3 = 0$

Szukamy pierwiastków wielomianu

$w (x) = x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 3$

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -3, -1, 1, 3. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

$w (- 1) = (- 1)^{3} + 5 \cdot (- 1)^{2} + 7 \cdot (- 1) + 3 = - 1 + 5 - 7 + 3 = 0$

Liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1).

Wykonujemy dzielenie w:(x+1):

Otrzymujemy:

$w (x) = x^{3} + 5 x^{2} + 7 x + 3 = (x + 1) (x^{2} + 4 x + 3)$

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²+4x+3:

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4, Δ = 2$

$x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

$x_{2} = \frac{- 4 + 2}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

Zatem:

$x^{2} + 4 x + 3 = (x + 3) (x + 1)$

I stąd:

$w (x) = (x + 1) (x + 3) (x + 1) = (x + 1)^{2} (x + 3)$

Pierwiastkami równania są liczby:

-3 - pierwiastek jednokrotny

-1 - pierwiastek dwukrotny

$b) x^{3} + x^{2} - 8 x - 12 = 0$

Szukamy pierwiastków wielomianu

$w (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

$w (- 2) = (- 2)^{3} + (- 2)^{2} - 8 \cdot (- 2) - 12 = - 8 + 4 + 16 - 12 = 0$

Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+2).

Wykonujemy dzielenie w:(x+2):

Otrzymujemy:

$w (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x - 12 = (x + 2) (x^{2} - x - 6)$

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²-x-6:

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 1 + 24 = 25, Δ = 5$

$x_{1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

$x_{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Zatem:

$x^{2} - x - 6 = (x + 2) (x - 3)$

I stąd:

$w (x) = (x + 2) (x + 2) (x - 3) = (x + 2)^{2} (x - 3)$

Pierwiastkami równania są liczby:

-2 - pierwiastek dwukrotny

3 - pierwiastek jednokrotny

$c) x^{4} - 6 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x = 0$

$x (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4) = 0$

$x = 0 lub x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4 = 0$

Szukamy pierwiastków wielomianu

$w (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -4, -2, -1, 1, 2, 4. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

$w (1) = 1 - 6 + 9 - 4 = 0$

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1).

Wykonujemy dzielenie w:(x-1):

Otrzymujemy:

$w (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4 = (x - 1) (x^{2} - 5 x + 4)$

Mamy:

$x^{2} - 5 x + 4 = x^{2} - x - 4 x + 4 = x (x - 1) - 4 (x - 1) = (x - 1) (x - 4)$

Stąd:

$w (x) = (x - 1) (x - 1) (x - 4) = (x - 1)^{2} (x - 4)$

$x^{4} - 6 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x = x \cdot w (x) = x (x - 1)^{2} (x - 4)$

Pierwiastkami równania są liczby:

0 - pierwiastek jednokrotny

1 - pierwiastek dwukrotny

4 - pierwiastek jednokrotny

$d) x^{4} - 6 x^{3} + 13 x^{2} - 12 x + 4 = 0$

Szukamy pierwiastków wielomianu

$w (x) = x^{4} - 6 x^{3} + 13 x^{2} - 12 x + 4$

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Dzielnikami wyrazu wolnego w są liczby -4, -2, -1, 1, 2, 4. Sprawdzamy, czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem w:

$w (1) = 1 - 6 + 13 - 12 + 4 = 0$