a) Jeśli cena jednej lalki wynosi x, a koszt wyprodukowania lalki wynosi 20 zł, to producent z jednej lalki osiąga (x-20) zł zysku.

Jeśli producent sprzeda s sztuk lalek, to osiągnie s(x-20) zł zysku. Znając wzór na s(x), możemy zapisać:

$z\left(x\right)=s\left(x\right)\cdot \left(x-20\right)=\left(-40x+3600\right)\cdot \left(x-20\right)=-40x\left(x-20\right)+3600\left(x-20\right)=-40x^2+800x+3600x-72000=-40x^2+4400x-72000$  

---

b) Współczynnik przy x² we wzorze funkcji z jest ujemny, więc ramiona paraboli będącej wykresem funkcji z są skierowane do dołu. Wynika stąd, że funkcja przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji z:

$x_w=-\frac{b}{2a}=\frac{-4400}{2\cdot \left(-40\right)}=\frac{-4400}{-80}=55$  

Obliczamy, jaka będzie wielkość sprzedaży i jaki zysk:

$s\left(x_w\right)=-40\cdot 55+3600=-2200+3600=1400$  

$z\left(x_w\right)=s\left(x_w\right)\cdot \left(x_w-20\right)=1400\cdot \left(55-20\right)=1400\cdot 35=49000$  

Odp. Aby roczny zysk firmy był największy, cena jednej lalki powinna wynosić 55 zł. Wielkość sprzedaży wyniesie wtedy 1400 sztuk rocznie, a zysk osiągnie 49 000 zł.