$\text{a)}$  

$f\left(x\right)={\log }_{0,5}\left(1-x^3\right)$  

Założenie:

$1-x^3>0\mid -1$  

$-x^3>-1\mid \cdot \left(-1\right)$  

$x^3<1$  

$x\in \left(-\infty ,1\right)$       

 

Miejsce zerowe:

${\log }_{0,5}\left(1-x^3\right)=0$  

${\log }_{0,5}\left(1-x^3\right)={\log }_{0,5}1$  

$1-x^3=1\mid -1$  

$-x^3=0$  

$x=0$  

---

$\text{b)}$  

$f\left(x\right)={\log }_{0,1}\left(x^2-1\right)$  

Założenie:

$x^2-1>0$  

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

 

Miejsce zerowe:

${\log }_{0,1}\left(x^2-1\right)=0$  

${\log }_{0,1}\left(x^2-1\right)={\log }_{0,1}1$  

$x^2-1=1\mid +1$  

$x^2=2$  

$x=\sqrt{2}\text{lub}x=-\sqrt{2}$  

---

$\text{c)}$  

$f\left(x\right)={\log }_{0,1}\left|2x+3\right|$  

Założenie:

$\left|2x+3\right|>0$  

$2x+3>0\text{lub}2x+3<0$  

$x>-\frac{3}{2}\text{lub}x<-\frac{3}{2}$  

$x\in \left(-\infty ,-\frac{3}{2}\right)\cup \left(-\frac{3}{2},+\infty \right)$  

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{3}{2}\right\}$  

 

Miejsce zerowe:

${\log }_{0,1}\left|2x+3\right|=0$  

${\log }_{0,1}\left|2x+3\right|={\log }_{0,1}1$  

$\left|2x+3\right|=1$  

$2x+3=1\text{lub}2x+3=-1$  

$2x=-2\text{lub}2x=-4$  

$x=-1\text{lub}x=-2$  

---

$\text{d)}$  

$f\left(x\right)={\log }_3\left(x^2+x+1\right)$  

Założenie:

$x^2+x+1>0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0$  

Brak pierwiastków, zatem dla każdego $x\in \mathbb{R}$  spełniona jest nierówność  $x^2+x+1>0$  

 

Miejsce zerowe:

${\log }_3\left(x^2+x+1\right)=0$  

${\log }_3\left(x^2+x+1\right)={\log }_{3}1$  

$x^2+x+1=1\mid -1$  

$x^2+x=0$  

$x\left(x+1\right)=0$  

$x=0\text{lub}x=-1$  

---

$\text{e)}$  

$f\left(x\right)={\log }_2\left(x^2-5x+4\right)$  

Założenie:

$x^2-5x+4>0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_2=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$  

$x\in \left(-\infty ,1\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

 

Miejsce zerowe:

${\log }_2\left(x^2-5x+4\right)=0$  

${\log }_2\left(x^2-5x+4\right)={\log }_{2}1$  

$x^2-5x+4=1\mid -1$  

$x^2-5x+3=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=25-12=13$  

$x_1=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$  

$x_2=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$  

---

$\text{f)}$  

$f\left(x\right)=\log \left|x^2-1\right|-1$  

Założenie:

$\left|x^2-1\right|>0$  

$x^2-1>0\text{lub}{x}^2-1<0$  

Łatwo zauważyć, że jedynie  $x^2-1\ne 0$  

$x^2\ne 1$  

$x\ne 1\text{i}x\ne -1$  

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

 

Miejsce zerowe:

$\log \left|x^2-1\right|-1=0\mid +1$  

$\log \left|x^2-1\right|=1$  

$\log \left|x^2-1\right|=\log 10$  

$\left|x^2-1\right|=10$  

$x^2-1=10\text{lub}{x}^2-1=-10$  

$x^2=11\text{lub}{x}^2=-9$  

$x=\sqrt{11}\text{lub}x=-\sqrt{11}\text{lub}x\in \varnothing$