a)

Dane jest równanie

$\left(m+3\right)x^2+\left(m+2\right)x+1=0$

1. Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy jest równaniem kwadratowymi, czyli współczynnik przy $x^2$ jest różny od zera, a zatem

$m+3\ne 0|-3$

$m\ne -3$

zatem dostajemy, że

$m\in \mathbb{R}\backslash \left\{-3\right\}$  

2. Równanie kwadratowe ma dwa rożne pierwiastki, gdy $\Delta >0,$ zatem rozwiązujemy nierówność

${\left(m+2\right)}^2-4\cdot \left(m+3\right)\cdot 1>0$

$m^2+4m+4-4m-12>0$

$m^2-8>0|+8$

$m^2>8|\sqrt{}$

$\left|m\right|>2\sqrt{2}$

$\begin{array}{ccc}m>2\sqrt{2}& \text{lub}& m<-2\sqrt{2}\end{array}$

Dostajemy, że

$\Delta >0\iff m\in \left(-\infty ,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},\infty \right)$

3. Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków $x_1$ oraz $x_2$ jest większa od $-6,$ gdy

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>-6$

Rozwiązujemy powyższą nierówność. Doprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\frac{x_2}{x_1{x}_2}+\frac{x_1}{x_1{x}_2}>-6$

$\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}>-6$

Korzystamy ze wzorów Viete'a i otrzymujemy

$\frac{-\frac{m+2}{m+3}}{\frac{1}{m+3}}>-6$

$-\frac{m+2}{\cancel{m+3}}\cdot \frac{\cancel{m+3}}{1}>-6$

$-\left(m+2\right)>-6|\cdot \left(-1\right)$

$m+2<6|-2$

$m<4$

Dostajemy, że

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>-6\iff m\in \left(-\infty ,4\right)$  

Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania jest większa od $-6,$ gdy spełnione są trzy powyższe warunki. Wobec tego

$\begin{array}{ccccc}m\in \mathbb{R}\backslash \left\{-3\right\}& \text{i}& m\in \left(-\infty ,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},\infty \right)& \text{i}& m\in \left(-\infty ,4\right)\end{array}$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{m\in (-\infty ,-3)\cup \left(-3,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},4\right)}}$

---

b)

Dane jest równanie

$m{x}^2+\left(m-1\right)x+1=0$

1. Równanie ma dwa różne pierwiastki, gdy jest równaniem kwadratowymi, czyli współczynnik przy $x^2$ jest różny od zera, a zatem

$m\ne 0$

zatem dostajemy, że

$m\in \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

2. Równanie kwadratowe ma dwa rożne pierwiastki, gdy $\Delta >0,$ zatem rozwiązujemy nierówność

${\left(m-1\right)}^2-4\cdot m\cdot 1>0$

$m^2-2m+1-4m>0$

$m^2-6m+1>0|+8$

$m^2-6m+9>8$

${\left(m-3\right)}^2>8|\sqrt{}$

$\left|m-3\right|>2\sqrt{2}$

$\begin{array}{lll}m-3>2\sqrt{2}& \text{lub}& m-3<-2\sqrt{2}\\ m>3+2\sqrt{2}& & m<3-2\sqrt{2}\end{array}$

Dostajemy, że

$\Delta >0\iff m\in \left(-\infty ,3-2\sqrt{2}\right)\cup \left(3+2\sqrt{2},\infty \right)$

3. Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków $x_1$ oraz $x_2$ jest większa od $-6,$ gdy

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>-6$

Rozwiązujemy powyższą nierówność. Doprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\frac{x_2}{x_1{x}_2}+\frac{x_1}{x_1{x}_2}>-6$

$\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}>-6$

Korzystamy ze wzorów Viete'a i otrzymujemy

$\frac{-\frac{m-1}{m}}{\frac{1}{m}}>-6$

$-\frac{m-1}{\cancel{m}}\cdot \frac{\cancel{m}}{1}>-6$

$-\left(m-1\right)>-6|\cdot \left(-1\right)$

$m-1<6|+1$

$m<7$

Dostajemy, że

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>-6\iff m\in \left(-\infty ,7\right)$  

Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania jest większa od $-6,$ gdy spełnione są trzy powyższe warunki. Wobec tego

$\begin{array}{ccccc}m\in \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}& \text{i}& m\in \left(-\infty ,3-2\sqrt{2}\right)\cup \left(3+2\sqrt{2},\infty \right)& \text{i}& m\in \left(-\infty ,7\right)\end{array}$

Wnioskujemy, że

$\underline{\underline{m\in (-\infty ,0)\cup \left(0,3-2\sqrt{2}\right)\cup \left(3+2\sqrt{2},7\right)}}$