Zakładamy, że a,x i y >0 oraz a≠1. Niech:

$p={\log }_{a}x,\text{oraz}q={\log }_{a}y$  

Wówczas z definicji logarytmu możemy zapisać:   

$a^p=x\text{oraz}{a}^q=y$  

Zapiszmy iloraz liczby x i y:

$\frac{x}{y}=\frac{a^p}{a^q}$  

Z własności działań na potęgach mamy:

$\frac{x}{y}=\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$  

czyli:

$\frac{x}{y}=a^{p-q}$  

Ponownie korzystając z definicji logarytmu otrzymujemy:

${\log }_a\frac{x}{y}=p-q$  

Po podstawieniu p i q mamy:

${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$