$\text{a)}$  

Przyjmujemy przeciwnie, że ${\log }_{2}5$   jest liczbą wymierną.

Oznacza to, że istnieją liczby naturalne $m$   i $n$   różne od $0,$   takie że:

${\log }_{2}5=\frac{m}{n}$       

Zatem:

$2^{\frac{m}{n}}=5{\mid }^n$  

$2^m=5^n$  

Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ lewa strona równości jest liczbą podzielną przez 2, a prawa strona nie.

Zatem liczba  ${\log }_{2}5$  jest liczbą niewymierną.

---

$\text{b)}$   

Przyjmujemy przeciwnie, że ${\log }_{3}5$   jest liczbą wymierną.

Oznacza to, że istnieją liczby naturalne $m$   i $n$   różne od $0,$   takie że:

${\log }_{3}5=\frac{m}{n}$  

Zatem:

$3^{\frac{m}{n}}=5{\mid }^n$  

$3^m=5^n$  

Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ lewa strona równości jest liczbą podzielną przez 3, a prawa strona nie.

Zatem liczba  ${\log }_{3}5$  jest liczbą niewymierną.

---

$\text{c)}$  

Przyjmujemy przeciwnie, że ${\log }_{2}6$   jest liczbą wymierną.

Oznacza to, że istnieją liczby naturalne $m$   i $n$   różne od $0,$   takie że:

${\log }_{2}6=\frac{m}{n}$  

Zatem:

$2^{\frac{m}{n}}=6{\mid }^n$  

$2^m=6^n$  

$2^m={\left(2\cdot 3\right)}^n$  

$2^m=2^n\cdot 3^n$  

Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ prawa strona równości jest liczbą podzielną przez 3, a lewa strona nie.

Zatem liczba  ${\log }_{2}6$  jest liczbą niewymierną.

---

$\text{d)}$  

Przyjmujemy przeciwnie, że ${\log }_{6}2$   jest liczbą wymierną.

Oznacza to, że istnieją liczby naturalne $m$   i $n$   różne od $0,$   takie że:

${\log }_{6}2=\frac{m}{n}$  

Zatem:

$6^{\frac{m}{n}}=2{\mid }^n$  

$6^m=2^n$  

${\left(2\cdot 3\right)}^m=2^n$  

$2^m\cdot 3^m=2^n$  

Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ lewa strona równości jest liczbą podzielną przez 3, a prawa strona nie.

Zatem liczba  ${\log }_{6}2$  jest liczbą niewymierną.