Dane są dwie funkcje

$f\left(x\right)=|x+1|+1$

$g\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$

---

a)

Aby sprawdzić, dla jakich argumentów funkcje $f$ i $g$ przyjmują te same wartości, rozwiązujemy równanie

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$

Wobec tego

$|x+1|+1=\frac{1}{2}{x}^2|-\frac{1}{2}{x}^2$

$-\frac{1}{2}{x}^2+\left|x+1\right|+1=0$

Z definicji wartości bezwzględnej dostajemy

$\left|x+1\right|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \begin{array}{lll}|x+1|=x+1& \text{dla}& x+1⩾0\\ |x+1|=-x-1& \text{dla}& x+1<0\end{array}\end{array}\end{array}$

zatem

$\left|x+1\right|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \begin{array}{lll}|x+1|=x+1& \text{dla}& x\in ⟨-1,\infty )\\ |x+1|=-x-1& \text{dla}& x\in \left(-\infty ,-1\right)\end{array}\end{array}\end{array}$

Rozważymy więc dwa przypadki.

1. $\underline{x\in (-\infty ,-1)}$

W tym przypadku równanie 

$-\frac{1}{2}{x}^2+\left|x+1\right|+1=0$

przyjmuje postać

$-\frac{1}{2}{x}^2-x-1+1=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe.

$-\frac{1}{2}{x}^2-x=0$

$-x\left(\frac{1}{2}x+1\right)=0$

$\begin{array}{lll}-x=0& \text{lub}& \frac{1}{2}x+1=0|-1\\ x=0& & \frac{1}{2}x=-1|\cdot 2\\ & & x=-2\end{array}$

Zauważmy, że

$x=0\notin \left(-\infty ,-1\right)$

natomiast

$x=-2\in \left(-\infty ,-1\right)$

Wobec tego tylko $x=-2$ spełnia warunki zadania.

2. $\underline{x\in ⟨-1,\infty )}$

W tym przypadku równanie 

$-\frac{1}{2}{x}^2+\left|x+1\right|+1=0$

przyjmuje postać

$-\frac{1}{2}{x}^2+x+1+1=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe.

$-\frac{1}{2}{x}^2+x+2=0|\cdot \left(-2\right)$

$x^2-2x-4=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=$

$=4+16=20$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-2\sqrt{5}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{2-2\sqrt{5}}{2}=$

$=\frac{\cancel{2}\left(1-\sqrt{5}\right)}{\cancel{2}}=$

$=1-\sqrt{5}$

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+2\sqrt{5}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{2+2\sqrt{5}}{2}=$

$=\frac{\cancel{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}{\cancel{2}}=$

$=1+\sqrt{5}$

Zauważmy, że

$x_1=1-\sqrt{5}\approx$

$\approx -1,24\notin ⟨-1,\infty )$

natomiast

$x_2=1+\sqrt{5}\approx$

$\approx 3,24\in ⟨-1,\infty )$

Wobec tego tylko $x_2=1+\sqrt{5}$ spełnia warunki zadania.

Łącząc oba rozważane przypadki dostajemy, że

$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \text{dla}& x\in \left\{-2,1+\sqrt{5}\right\}\end{array}$ 

---

b)

Wiemy, że

$h\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2$

Aby sprawdzić, dla jakich argumentów podane funkcje $f$ i $h$ przyjmują te same wartości, rozwiązujemy równanie

$f\left(x\right)=h\left(x\right)$

Wobec tego

$|x+1|+1=\frac{1}{4}{x}^2|-\frac{1}{4}{x}^2$

$-\frac{1}{4}{x}^2+\left|x+1\right|+1=0$

Z definicji wartości bezwzględnej dostajemy

$\left|x+1\right|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \begin{array}{lll}|x+1|=x+1& \text{dla}& x+1⩾0\\ |x+1|=-x-1& \text{dla}& x+1<0\end{array}\end{array}\end{array}$

zatem

$\left|x+1\right|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \begin{array}{lll}|x+1|=x+1& \text{dla}& x\in ⟨-1,\infty )\\ |x+1|=-x-1& \text{dla}& x\in \left(-\infty ,-1\right)\end{array}\end{array}\end{array}$

Rozważymy więc dwa przypadki.

1. $\underline{x\in (-\infty ,-1)}$

W tym przypadku równanie 

$-\frac{1}{4}{x}^2+\left|x+1\right|+1=0$

przyjmuje postać

$-\frac{1}{4}{x}^2-x-1+1=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe.

$-\frac{1}{4}{x}^2-x=0$

$-x\left(\frac{1}{4}x+1\right)=0$

$\begin{array}{lll}-x=0& \text{lub}& \frac{1}{4}x+1=0|-1\\ x=0& & \frac{1}{4}x=-1|\cdot 4\\ & & x=-4\end{array}$

Zauważmy, że

$x=0\notin \left(-\infty ,-1\right)$

natomiast

$x=-4\in \left(-\infty ,-1\right)$

Wobec tego tylko $x=-4$ spełnia warunki zadania.

2. $\underline{x\in ⟨-1,\infty )}$

W tym przypadku równanie 

$-\frac{1}{4}{x}^2+\left|x+1\right|+1=0$

przyjmuje postać

$-\frac{1}{4}{x}^2+x+1+1=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe.

$-\frac{1}{4}{x}^2+x+2=0|\cdot \left(-4\right)$

$x^2-4x-8=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=$

$=16+32=48$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$x_1=\frac{-\left(-4\right)-4\sqrt{3}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{4-4\sqrt{3}}{2}=$

$=\frac{\cancel{2}\left(2-2\sqrt{3}\right)}{\cancel{2}}=$

$=2-2\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-\left(-4\right)+4\sqrt{3}}{2\cdot 1}=$

$=\frac{4+4\sqrt{3}}{2}=$

$=\frac{\cancel{2}\left(2+2\sqrt{3}\right)}{\cancel{2}}=$

$=2+2\sqrt{3}$

Zauważmy, że

$x_1=2-2\sqrt{3}\approx$

$\approx -1,46\notin ⟨-1,\infty )$

natomiast

$x_2=2+2\sqrt{3}\approx$

$\approx 5,46\in ⟨-1,\infty )$

Wobec tego tylko $x_2=2+2\sqrt{3}$ spełnia warunki zadania.

Łącząc oba rozważane przypadki dostajemy, że

$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=h\left(x\right)& \text{dla}& x\in \left\{-4,2+2\sqrt{3}\right\}\end{array}$