$\text{a)}$  

Zauważmy, że pole dużego kwadratu, czyli pole o boku $c$   wyraża się wzorem:  

$P=c^2$  

Z drugiej strony jest to pole czterech trójkątów prostokątnych i pole kwadratu, zatem:

$P=4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot b+{\left(a-b\right)}^2$

$P=2ab+a^2-2ab+b^2$   

$P=a^2+b^2$  

 

Zatem otrzymujemy:

$c^2=a^2+b^2$  

Co należało pokazać.

---

$\text{b)}$  

Należy przyjąć:

$c=8,a-b=2$  

Obliczmy długości przyprostokątnych $a$ i  $b.$  

 

Zauważmy, że różnica pole dużego kwadratu i pola małego kwadratu to pole czterech trójkątów prostokątnych, zatem:

$8^2-2^2=4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot b$  

$64-4=2ab$  

$60=2ab$  

$30=ab\mid :b$  

$\frac{30}{b}=a$  

 

Zauważmy, że:

$a-b=2$  

$\frac{30}{b}-b=2\mid \cdot b$  

$30-b^2=2b$  

$0=b^2+2b-30$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-30\right)=4+120=124$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{124}=2\sqrt{31}$  

$b_1=\frac{-2-2\sqrt{31}}{2}<0\text{sprzecznosˊcˊ}$  

$b_2=\frac{-2+2\sqrt{31}}{2}=-1+\sqrt{31}$  

Zatem:

$b=\sqrt{31}-1$  

Wobec tego:

$a=\frac{30}{b}=\frac{30}{\sqrt{31}-1}=\frac{30\left(\sqrt{31}+1\right)}{{\sqrt{31}}^2-1^2}=\frac{30\left(\sqrt{31}+1\right)}{31-1}=\sqrt{31}+1$