$\text{a)}$  

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego to przeciwprostokątna tego trójkąta.

Oznaczmy przez x i y długości przyprostokątnych tego trójkąta (oczywiście x i y są liczbami dodatnimi). 

Możemy zapisać układ równań (jedno równanie otrzymujemy z tw. Pitagorasa, a drugie dzięki temu, że znamy obwód trójkąta)

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2={13}^2\\ x+y+13=30-13-y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=169\\ x=17-y\end{array}$

Wstawiamy x z drugiego równania do pierwszego równania mamy: 

${\left(17-y\right)}^2+y^2=169$

$289-34y+y^2+y^2=169\mid -169$

$2y^2-34y+120=0\mid :2$

$y^2-17y+60=0$

$\Delta ={\left(-17\right)}^2-4\cdot 1\cdot 60=289-240=49$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$

$y_1=\frac{17-7}{2}=\frac{10}{2}=5\left[\text{cm}\right]$

$y_2=\frac{17+7}{2}=\frac{24}{2}=12\left[\text{cm}\right]$

Zatem:

$\{\begin{array}{l}y=5\\ x=17-5\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=12\\ x=17-12\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=5\\ x=12\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}y=12\\ x=5\end{array}$  

---

$\text{b)}$  

Oznaczmy długości przyprostokątnych przez x i y (oczywiście x i y to liczby dodatnie). 

Możemy zapisać układ równań (jedno równanie otrzymujemy z tw. Pitagorasa, a drugie dzięki informacji z zadania o średniej).

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=2^2\\ x=\frac{y+2}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4\\ 2x=y+2\mid -2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4\\ y=2x-2\end{array}$

Wstawiamy y z drugiego równania do pierwszego równania: 

$x^2+{\left(2x-2\right)}^2=4$

$x^2+4x^2-8x+4=4\mid -4$

$5x^2-8x=0\mid :5$

$x^2-\frac{8}{5}x=0$

$x\left(x-\frac{8}{5}\right)=0$

$x=0\text{lub}x-\frac{8}{5}=0$

Wiemy, że x>0, zatem:

$x=\frac{8}{5}$

 

$\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=2\cdot \frac{8}{5}-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{16}{5}-\frac{10}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{6}{5}\end{array}$  

Obliczmy obwód tego trójkąta.

$L=\frac{8}{5}+\frac{6}{5}+2=\frac{14}{5}+2=2\frac{4}{5}+2=4\frac{4}{5}=4,8\left[\text{cm}\right]$