a)

Dane jest równanie

$x+\sqrt{x}-6=0$

Zakładamy, że $x⩾0.$

Równanie z treści zadania możemy zapisać w postaci

${\left(\sqrt{x}\right)}^2+\sqrt{x}-6=0$

Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą.

$t=\sqrt{x},t⩾0$

W ten sposób otrzymujemy równanie kwadratowe.

$t^2+t-6=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie ze zmienną $t.$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=$

$=1+24=25$

wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$t_1=\frac{-1-5}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-6}{2}=-3$

$t_2=\frac{-1+5}{2\cdot 1}=$

$=\frac{4}{2}=2$

Zauważamy, że tylko jedno rozwiązanie równania spełnia założenie $t⩾0.$ Wobec tego bierzemy pod uwagę tylko pierwiastek $t_2=2.$ Wracamy do zastosowanego podstawienia $t=\sqrt{x}$ i dostajemy

$\sqrt{x}=2|{\left(\right)}^2$

$\underline{x=4}$

---

a)

Dane jest równanie

$x+5\sqrt{x}+6=0$

Zakładamy, że $x⩾0.$

Równanie z treści zadania możemy zapisać w postaci

${\left(\sqrt{x}\right)}^2+5\sqrt{x}+6=0$

Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą.

$t=\sqrt{x},t⩾0$

W ten sposób otrzymujemy równanie kwadratowe.

$t^2+5t+6=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie ze zmienną $t.$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot 6=$

$=25-24=1$

wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$t_1=\frac{-5-1}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-6}{2}=-3$

$t_2=\frac{-5+1}{2\cdot 1}=$

$=\frac{-4}{2}=-2$

Zauważamy, że oba rozwiązania równania nie spełniają założenia $t⩾0$, zatem podane równanie ze zmienną $x$ jest równaniem sprzecznym.

---

c)

Dane jest równanie

$6x-\sqrt{x}-1=0$

Zakładamy, że $x⩾0.$

Równanie z treści zadania możemy zapisać w postaci

$6{\left(\sqrt{x}\right)}^2-\sqrt{x}-1=0$

Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą.

$t=\sqrt{x},t⩾0$

W ten sposób otrzymujemy równanie kwadratowe.

$6t^2-t-1=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie ze zmienną $t.$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =(-1{)}^2-4\cdot 6\cdot \left(-1\right)=$

$=1+24=25$

wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

Skoro $\Delta >0$, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania.

$t_1=\frac{-\left(-1\right)-5}{2\cdot 6}=$

$=\frac{1-5}{12}=$

$=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}$

$t_2=\frac{-\left(-1\right)+5}{2\cdot 6}=$

$=\frac{1+5}{12}=$

$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

Zauważamy, że tylko jedno rozwiązanie równania spełnia założenie $t⩾0.$ Wobec tego bierzemy pod uwagę tylko pierwiastek $t_2=\frac{1}{2}.$ Wracamy do zastosowanego podstawienia $t=\sqrt{x}$ i dostajemy

$\sqrt{x}=\frac{1}{2}|{\left(\right)}^2$

$\underline{x=\frac{1}{4}}$