a) Zauważmy, że prostokąt wyznaczony przez dane punkty ma boki długości x₀ i y₀. Stąd pole prostokąta obliczymy następująco:

$P=x_0\cdot y_0$  

Wiemy, że punkt (x₀,y₀) należy do wykresu funkcji $y=\frac{a}{x},$   czyli mamy:

$y_0=\frac{a}{x_0}$  

Podstawiając tak wyznaczone y₀ do wzoru na pole prostokąta otrzymujemy:

$P=x_0\cdot y_0=\sout{x_0}\cdot \frac{a}{\sout{x_0}}=a$                        

Prostokąt o wierzchołkach w zadanych punktach ma pole równe a.

---

b)  Trzy wierzchołki kwadratu mają współrzędne (0,0), (0,y₀) oraz (x₀,0). Figura jest kwadratem, więc:

$\left|y_0\right|=\left|x_0\right|$   

(x₀ oraz y₀ traktujemy jak długości boków kwadratu więc musimy obłożyć je wartością bezwzględną)

 

Wiemy, że punkt (x₀,y₀) należy do wykresu funkcji $y=\frac{a}{x},$   czyli mamy:

$y_0=\frac{a}{x_0}$  

Wiemy, że  $\left|y_0\right|=\left|x_0\right|,$   zatem możemy zapisać:

$\left|x_0\right|=\left|\frac{a}{x_0}\right|$  

$\left|x_0\right|=\frac{\left|a\right|}{\left|x_0\right|}\mid \cdot \text{|}{x}_0\text{|}$  

$\left|a\right|={\left|x_0\right|}^2$  

Chcemy obliczyć długość boku kwadratu, czyli |x₀|, stąd:

$\left|x_0\right|=\sqrt{\left|a\right|}$  

Obliczyliśmy długość boku kwadratu.

Korzystają ze wzoru na długość przekątnej (d) w kwadracie mamy:

$d=\left|x_0\right|\sqrt{2}=\sqrt{\left|a\right|}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2\left|a\right|}$   

---

$\text{c)}$   

Rysunek pomocniczy:

Zał:  $a>0$  

Punkty przecięcia prostej  $y=\frac{a}{x}$   i prostej  $y=\frac{1}{2}x$   to:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{a}{x}\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}$  

$\frac{a}{x}=\frac{1}{2}x\mid \cdot 2x$  

$2a=x^2$  

$x=\sqrt{2a}\text{lub}x=-\sqrt{2a}$  

Zatem są to punkty:

$A=\left(\sqrt{2a},\frac{\sqrt{2a}}{2}\right),C=\left(-\sqrt{2a},-\frac{\sqrt{2a}}{2}\right)$  

 

Punkty przecięcia prostej  $y=\frac{a}{x}$   i prostej  $y=2x$   to:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{a}{x}\\ y=2x\end{array}$  

$\frac{a}{x}=2x\mid \cdot x$  

$a=2x^2\mid :2$  

$\frac{a}{2}=x^2$  

$x=\sqrt{\frac{a}{2}}\text{lub}x=-\sqrt{\frac{a}{2}}$  

$x=\frac{\sqrt{2a}}{2}\text{lub}x=-\frac{\sqrt{2a}}{2}$  

Zatem są to punkty:

$B=\left(\frac{\sqrt{2a}}{2},\sqrt{2a}\right),D=\left(-\frac{\sqrt{2a}}{2},-\sqrt{2a}\right)$  

 

Wyznaczmy długość odcinka AB.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2a}}{2}-\sqrt{2a}\right)}^2+{\left(\sqrt{2a}-\frac{\sqrt{2a}}{2}\right)}^2}$  

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(\frac{-\sqrt{2a}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2a}}{2}\right)}^2}$  

$\left|AB\right|=\sqrt{\frac{2a}{4}+\frac{2a}{4}}$  

$\left|AB\right|=\sqrt{\frac{4a}{4}}$  

$\left|AB\right|=\sqrt{a}$  

 

Wyznaczmy długość odcinka BC.

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-\sqrt{2a}-\frac{\sqrt{2a}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{2a}}{2}-\sqrt{2a}\right)}^2}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{2\cdot {\left(\frac{-3\sqrt{2a}}{2}\right)}^2}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{2\cdot \frac{9\cdot 2a}{4}}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{9a}$  

$\left|BC\right|=3\sqrt{a}$  

 

Zatem:

$P=\left|AB\right|\cdot \left|BC\right|$  

Z treści zadania wiemy, że P=24, zatem:

$24=\sqrt{a}\cdot 3\sqrt{a}\mid :3$  

$8={\sqrt{a}}^2$  

$8=\left|a\right|$  

Zatem:

$a=8$