$\text{a)}\left|\frac{2x-3}{x-2}\right|\le 2$

Zał:

$x-2\ne 0$

$x\ne 2$

$\left|\frac{2x-3}{x-2}\right|\le 2$

$\frac{\left|2x-3\right|}{\left|x-2\right|}\le 2$

$\left|2x-3\right|\le 2\left|x-2\right|$

$2\left|x-\frac{3}{2}\right|\le 2\left|x-2\right|$

$\left|x-\frac{3}{2}\right|\le \left|x-2\right|$

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,\frac{3}{2}\right)$

Wtedy mamy:

$-x+\frac{3}{2}\le -x+2$

$\frac{3}{2}\le 2$

Nierówność prawdziwa w rozpatrywanym zbiorze.

Przypadek II.

$x\in ⟨\frac{3}{2},2)$

Wtedy mamy:

$x-\frac{3}{2}\le -x+2$

$2x\le \frac{7}{2}$

$x\le \frac{7}{4}$

Uwzględniając rozpatrywany przedział mamy:

$x\in ⟨\frac{3}{2},\frac{7}{4}⟩$

Przypadek III.

$x\in \left(2,+\infty \right)$

Wtedy mamy:

$x-\frac{3}{2}\le x-2$

$-\frac{3}{2}\le -2$

Sprzeczność.

Zatem ostatecznie:

$x\in (-\infty ,\frac{7}{4}⟩$

---

$\text{b)}\left|\frac{3-x}{x+1}\right|>2$

Zał:

$x+1\ne 0$

$x\ne -1$

$\left|\frac{3-x}{x+1}\right|>2$

$\frac{\left|3-x\right|}{\left|x+1\right|}>2$

$\left|3-x\right|>2\left|x+1\right|$

$\left|x-3\right|>2\left|x+1\right|$

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,-1\right)$

Wtedy mamy:

$-x+3>2\left(-x-1\right)$

$-x+3>-2x-2$

$x>-5$

Przypadek II.

$x\in \left(-1,3\right)$

Wtedy mamy:

$-x+3>2\left(x+1\right)$

$-x+3>2x+2$

$-3x>-1$

$x<\frac{1}{3}$

W rozpatrywanym przedziale mamy:

$x\in \left(-1,\frac{1}{3}\right)$

Przypadek III.

$x\in ⟨3,+\infty )$

Wtedy mamy:

$x-3>2\left(x+1\right)$

$x-3>2x+2$

$-x>5$

$x<-5$

Sprzeczność.

Zatem ostatecznie:

$x\in \left(-5,-1\right)\cup \left(-1,\frac{1}{3}\right)$

---

$\text{c)}\left|\frac{x-1}{x+7}\right|\le 0$

Zał:

$x+7\ne 0$

$x\ne -7$

$\left|\frac{x-1}{x+7}\right|\le 0$

Wartość bezwzględna z danej liczby nie może być mniejsza od 0, gdyż jest liczbą nieujemną (czyli większą lub równą 0).

Stąd rozpatrujemy tylko przypadek:

$\left|\frac{x-1}{x+7}\right|=0$

$\frac{\left|x-1\right|}{\left|x+7\right|}=0\mid \cdot \text{|}x+7\text{|}$

$\left|x-1\right|=0$

$x-1=0$

$x=1$

---

$\text{d)}\left|\frac{x-1}{x+1}\right|>1$

Zał:

$x+1\ne 0$

$x\ne -1$

$\left|\frac{x-1}{x+1}\right|>1$

$\frac{\left|x-1\right|}{\left|x+1\right|}>1$

$\left|x-1\right|>\left|x+1\right|$

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,-1\right)$

Wtedy mamy:

$-x+1>-x-1$

$1>-1$

Zatem:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)$

Przypadek II.

$x\in \left(-1,1\right)$

Wtedy mamy:

$-x+1>x+1$

$-2x>0$

$x<0$

Zatem:

$x\in \left(-1,0\right)$

Przypadek III.

$x\in ⟨1,+\infty )$

$x-1>x+1$

$-1>1$

Sprzeczność

Zatem ostatecznie:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(-1,0\right)$

---

$\text{e)}\left|\frac{x+2}{2x-3}\right|\le 4$

Zał:

$2x-3\ne 0$

$x\ne \frac{3}{2}$

$\left|\frac{x+2}{2x-3}\right|\le 4$

$\frac{\left|x+2\right|}{\left|2x-3\right|}\le 4$

$\left|x+2\right|\le 4\left|2x-3\right|$

$\left|x+2\right|\le 4\cdot 2\left|x-\frac{3}{2}\right|$

$\left|x+2\right|\le 8\left|x-\frac{3}{2}\right|$

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,-2\right)$

Wtedy mamy:

$-x-2\le 8\left(-x+\frac{3}{2}\right)$

$-x-2\le -8x+12$

$7x\le 14$

$x\le 2$

Zatem:

$x\in \left(-\infty ,-2\right)$

Przypadek II.

$x\in ⟨-2,\frac{3}{2})$

Wtedy mamy:

$x+2\le 8\left(-x+\frac{3}{2}\right)$

$x+2\le -8x+12$

$9x\le 10$

$x\le \frac{10}{9}$

Zatem:

$x\in ⟨-2,\frac{10}{9}⟩$

Przypadek III.

$x\in \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$

Wtedy mamy:

$x+2\le 8\left(x-\frac{3}{2}\right)$

$x+2\le 8x-12$

$14\le 7x$

$2\le x$

$x\in ⟨2,+\infty )$

Zatem ostatecznie:

$x\in (-\infty ,\frac{10}{9}⟩\cup ⟨2,+\infty )$

---

$\text{f)}\left|\frac{x+3}{x-1}\right|>0$

Zał:

$x-1\ne 0$

$x\ne 1$

Wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą większą lub równą 0.

Wystarczy więc, że rozpatrzymy przypadek:

$\left|\frac{x+3}{x-1}\right|\ne 0$

$\left|\frac{x+3}{x-1}\right|\ne 0$

$\frac{\left|x+3\right|}{\left|x-1\right|}\ne 0\mid \cdot \text{|}x-1\text{|}$

$\left|x+3\right|\ne 0$

$x+3\ne 0$

$x\ne -3$

Zatem:

$x\in R\backslash \left\{-3,1\right\}$

---

$\text{g)}\frac{1}{\left|x+4\right|}\le \frac{1}{\left|x-2\right|}$

Zał:

$x+4\ne 0\text{i}x-2\ne 0$

$x\ne -4\text{i}x\ne 2$

$\frac{1}{\left|x+4\right|}\le \frac{1}{\left|x-2\right|}\mid \cdot \text{|}x-2\text{|}$

$\frac{\left|x-2\right|}{\left|x+4\right|}\le 1$

$\left|\frac{x-2}{x+4}\right|\le 1$

$\frac{\left|x-2\right|}{\left|x+4\right|}\le 1$

$\left|x-2\right|\le \left|x+4\right|$

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,-4\right)$

Wtedy mamy:

$-x+2\le -x-4$

$2\le -4$

Sprzeczność.

Przypadek II.

$x\in \left(-4,2\right)$

Wtedy mamy:

$-x+2\le x+4$

$-2x\le 2$

$x\ge -1$

Zatem mamy:

$x\in ⟨-1,2)$

Przypadek III.

$x\in \left(2,+\infty \right)$

Wtedy mamy:

$x-2\le x+4$

$-2\le 4$

$x\in \left(2,+\infty \right)$

Zatem ostatecznie:

$x\in ⟨-1,2)\cup \left(2,+\infty \right)$

---

$\text{h)}\frac{6}{\left|4-x\right|}>\frac{1}{\left|2x+1\right|}$

Zał:

$4-x\ne 0\text{i}2x+1\ne 0$

$x\ne 4\text{i}x\ne -\frac{1}{2}$

$\frac{6}{\left|4-x\right|}>\frac{1}{\left|2x+1\right|}\mid \cdot \text{|}2x+1\text{|}$

$\frac{6\left|2x+1\right|}{\left|4-x\right|}>1\mid \cdot \text{|}4-x\text{|}$

$6\left|2x+1\right|>\left|4-x\right|$

$6\left|2x+1\right|>\left|x-4\right|$

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)$

$6\left(-2x-1\right)>-x+4$

$-12x-6>-x+4$

$-11x>10$

$x<-\frac{10}{11}$

Przypadek II.

$x\in \left(-\frac{1}{2},4\right)$

$6\left(2x+1\right)>-x+4$

$12x+6>-x+4$

$13x>-2$

$x>-\frac{2}{13}$

Zatem:

$x\in \left(-\frac{2}{13},4\right)$

Przypadek III.

$x\in \left(4,+\infty \right)$

$6\left(2x+1\right)>x-4$

$12x+6>x-4$

$11x>-10$

$x>-\frac{10}{11}$

Zatem:

$x\in \left(4,+\infty \right)$

Mamy więc (uwzględniając dziedzinę):

$x\in \left(-\infty ,-\frac{10}{11}\right)\cup \left(-\frac{2}{13},4\right)\cup \left(4,+\infty \right)$

---

$\text{i)}\frac{2}{\left|x-4\right|}\ge \frac{1}{\left|2x+8\right|}$

Zał:

$x-4\ne 0\text{i}2x+8\ne 0$

$x\ne 4\text{i}x\ne -4$

$\frac{2}{\left|x-4\right|}\ge \frac{1}{\left|2x+8\right|}\mid \cdot \text{|}2x+8\text{|}$

$\frac{2\left|2x+8\right|}{\left|x-4\right|}\ge 1\mid \cdot \text{|}x-4\text{|}$

$2\left|2x+8\right|\ge \left|x-4\right|$

$2\cdot 2\left|x+4\right|\ge \left|x-4\right|$

$4\left|x+4\right|\ge \left|x-4\right|$

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,-4\right)$

Wtedy mamy:

$4\left(-x-4\right)\ge -x+4$

$-4x-16\ge -x+4$

$-3x\ge 20$

$x\le -\frac{20}{3}$

Zatem:

$x\in (-\infty ;-\frac{20}{3}⟩$

Przypadek II.

$x\in \left(-4,4\right)$

Wtedy mamy:

$4\left(x+4\right)\ge -x+4$

$4x+16\ge -x+4$

$5x\ge -12$

$x\ge -\frac{12}{5}$

Zatem:

$x\in ⟨-\frac{12}{5},4)$

Przypadek III.

$x\in \left(4,+\infty \right)$

$4\left(x+4\right)\ge x-4$

$4x+16\ge x-4$

$3x\ge -20$

$x\ge -\frac{20}{3}$

Zatem:

$x\in \left(4,+\infty \right)$

Mamy więc (uwzględniając dziedzinę):

$x\in (-\infty ,-\frac{20}{3}⟩\cup ⟨-\frac{12}{5},4)\cup \left(4,+\infty \right)$