$\text{a)}$  

$\left|x\right|+\left|x-3\right|=5$  

 

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,0\right)$  

Wtedy mamy:

$-x-x+3=5$  

$-2x=2$  

$x=-1$  

 

Przypadek II.

$x\in ⟨0,3)$  

Wtedy mamy:   

$x-x+3=5$  

$3=5$  

sprzeczność

 

Przypadek III.

$x\in ⟨3,+\infty )$  

Wtedy mamy:

$x+x-3=5$  

$2x=8$  

$x=4$  

 

Zatem ostatecznie:

$x=-1\text{lub}x=4$  

---

$\text{b)}$  

$\left|x+4\right|-\left|2-x\right|=6$  

$\left|x+4\right|-\left|x-2\right|=6$  

 

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,-4\right)$  

Wtedy mamy:

$-x-4-\left(-x+2\right)=6$  

$-x-4+x-2=6$  

$-6=6$  

sprzeczność

 

Przypadek II.

$x\in ⟨-4,2)$  

Wtedy mamy:

$x+4-\left(-x+2\right)=6$  

$x+4+x-2=6$  

$2x=4$  

$x=2\notin ⟨-4,2)$  

 

Przypadek III.

$x\in ⟨2,+\infty )$  

Wtedy mamy:

$x+4-\left(x-2\right)=6$  

$x+4-x+2=6$  

$6=6$  

Zatem równość jest spełniona w rozpatrywanym przedziale.

 

Zatem ostatecznie:

$x\in ⟨2,+\infty )$  

---

$\text{c)}$  

$\left|x\right|+\left|x-2\right|=2x-2$  

 

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,0\right)$  

Wtedy mamy:

$-x-x+2=2x-2$  

$-2x+2=2x-2$  

$-4x=-4$  

$x=1\notin \left(-\infty ,0\right)$  

 

Przypadek II.

$x\in ⟨0,2)$  

Wtedy mamy:

$x-x+2=2x-2$  

$2=2x-2$  

$-2x=-4$  

$x=2\notin ⟨0,2)$  

 

Przypadek III.

$x\in ⟨2,+\infty )$  

Wtedy mamy:

$x+x-2=2x-2$  

$2x-2=2x-2$  

Zatem równość jest spełniona w rozpatrywanym przedziale.

 

Zatem ostatecznie:

$x\in ⟨2,+\infty )$  

---

$\text{d)}$  

$\left|x\right|+\left|x+5\right|=2x+5$  

 

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,-5\right)$  

Wtedy mamy:

$-x-x-5=2x+5$  

$-4x=10$  

$x=-\frac{10}{4}$  

$x=-2\frac{1}{2}\notin \left(-\infty ,-5\right)$  

 

Przypadek II.

$x\in ⟨-5,0)$  

Wtedy mamy:

$-x+x+5=2x+5$  

$0=2x$  

$x=0\notin ⟨-5,0)$  

 

Przypadek III.

$x\in ⟨0,+\infty )$  

$x+x+5=2x+5$  

$2x+5=2x+5$  

Zatem równość jest spełniona w rozpatrywanym przedziale.

 

Zatem ostatecznie:

$x\in ⟨0,+\infty )$