Zakładamy, że:

$x>0$  

$D=\left(0,+\infty \right)$  

---

Obliczamy objętość prostopadłościanu:

$V_1=5\cdot 6\cdot 8=30\cdot 8=240\left[{\text{cm}}^3\right]$  

---

Po zwiększeniu o x krawędzie prostopadłościanu mają długości: x+5, x+6, x+8. 

Wówczas objętość prostopadłościanu wyraża się wzorem:

$V_2=\left(x+5\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)=\left(x^2+6x+5x+30\right)\left(x+8\right)=\left(x^2+11x+30\right)\left(x+8\right)=x^3+8x^2+11x^2+88x+30x+240=x^3+19x^2+118x+240$  

---

Objętość prostopadłościanu wzrosła o 320 cm³. Zatem:

$V_2-V_1=320$  

$x^3+19x^2+118x+240-240=320$  

$x^3+19x^2+118x-320=0$  

---

Szukamy pierwiastków wielomianu

$w\left(x\right)=x^3+19x^2+118x-320$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Sprawdzamy, czy któryś z dzielników wyrazu wolnego jest pierwiastkiem w:

$w\left(1\right)=1+19+118-320=138-320\ne 0$  

$w\left(2\right)=2^3+19\cdot 2^2+118\cdot 2-320=8+19\cdot 4+236-320=8+76+236-320=320-320=0$  

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2).

Wykonujemy dzielenie w:(x-2):

Otrzymujemy:

$w\left(x\right)=x^3+19x^2+118x-320=\left(x-2\right)\left(x^2+21x+160\right)$  

Trójmian x²+21x+160 nie ma pierwiastków, ponieważ:

$\Delta ={21}^2-4\cdot 1\cdot 160=441-640<0$  

Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest

$x=2\in D$  

---

$\text{Odp.}x=2.$