Rozwiąż nierówność.- Zadanie 5: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Edycja 2024

Rozwiązanie

$a) - x^{3} + 2 x^{2} - x < 0$

$- x (x^{2} - 2 x + 1) < 0$

$- x (x - 1)^{2} < 0$

Oznaczmy:

$w (x) = - x (x - 1)^{2}$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu w:

$x = 0, x = 1$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu w. Współczynnik przy x³ jest ujemny, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od dołu. Liczba 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu 1 wykres odbije się od osi X.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$w (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$

$b) - x^{3} + x^{2} + 6 x \geq 0$

$- x (x^{2} - x - 6) \geq 0$

Rozkładamy trójmian x²-x-6 na czynniki:

$Δ = 1 + 24 = 25, Δ = 5$

$x = \frac{1 - 5}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 lub x = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Zatem:

$x^{2} - x - 6 = (x + 2) (x - 3)$

Nierówność przyjmuje postać:

$- x (x + 2) (x - 3) \geq 0$

Oznaczmy

$w (x) = - x (x + 2) (x - 3)$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu w:

$x = - 2, x = 0, x = 3$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu w. Współczynnik przy x³ jest ujemny, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od dołu.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$w (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, - 2 ⟩ \cup ⟨ 0, 3 ⟩$

$c) x^{3} - x^{2} - x + 1 \leq 0$

$x^{2} (x - 1) - (x - 1) \leq 0$

$(x - 1) (x^{2} - 1) \leq 0$

$(x - 1) (x - 1) (x + 1) \leq 0$

$(x - 1)^{2} (x + 1) \leq 0$

Oznaczmy:

$w (x) = (x - 1)^{2} (x + 1)$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu w:

$x = - 1, x = 1$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu w. Współczynnik przy x³ jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od góry. Liczba 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu 1 wykres odbije się od osi X.

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$w (x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup {1}$

$d) - x^{4} + 10 x^{3} + 11 x^{2} > 0$

$- x^{2} (x^{2} - 10 x - 11) > 0$

Rozkładamy trójmian x²+10x-11 na czynniki:

$Δ = 100 + 44 = 144, Δ = 12$

$x = \frac{10 - 12}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 lub x = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$

Zatem:

$x^{2} - 10 x - 11 = (x - 11) (x + 1)$

Nierówność przyjmuje postać:

$- x^{2} (x - 11) (x + 1) > 0$

Oznaczmy:

$w (x) = - x^{2} (x - 11) (x + 1)$

Odczytujemy pierwiastki wielomianu w:

$x = - 1, x = 0, x = 11$

Rysujemy przybliżony wykres wielomianu w. Współczynnik przy x⁴ jest ujemny, więc zaczynamy rysowanie wykresu od prawej strony od dołu. Liczba 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym, więc dla argumentu 0 wykres odbije się od osi X.