a) Dzielimy wielomian w przez dwumian q(x)=x-1.

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x-1\right)=x^2-5x-14$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²-5x-14:

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-14\right)=25+56=81,\sqrt{\Delta }=\sqrt{81}=9$  

$x_1=\frac{5-9}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby:

$-2,1,7$  

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x-7\right)$  

---

b) Dzielimy wielomian w przez dwumian q(x)=x+2.

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x+2\right)=2x^2+5x+3$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu 2x²+5x+3:

$\Delta =5^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1,\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$  

$x_1=\frac{-5-1}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$  

$x_2=\frac{-5+1}{4}=\frac{-4}{4}=-1$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby:

$-2,-\frac{3}{2},-1$  

Zatem:

$w\left(x\right)=2\left(x+2\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+1\right)$  

---

c) Dzielimy wielomian w przez dwumian q(x)=x+5.

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x+5\right)=x^2-3x+4$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²-3x+4:

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0$  

Δ<0, więc trójmian nie ma pierwiastków (jest nierozkładalny).

Pierwiastkiem wielomianu w jest liczba:

$-5$  

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x+5\right)\left(x^2-3x+4\right)$  

---

d) Dzielimy wielomian w przez dwumian q(x)=x-¹/₂.

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x^2-2x-4$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu 2x²-2x-4:

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-4\right)=4+32=36,\sqrt{\Delta }=\sqrt{36}=6$  

$x_1=\frac{2-6}{4}=\frac{-4}{4}=-1$  

$x_2=\frac{2+6}{4}=\frac{8}{4}=2$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby:

$-1,\frac{1}{2},2$  

Zatem:

$w\left(x\right)=2\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)$  

---

e) Dzielimy wielomian w przez dwumian q(x)=x-4.

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x-4\right)=x^2+4x-1$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²+4x-1:

$\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=16+4=20,\sqrt{\Delta }=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

$x_1=\frac{-4-2\sqrt{5}}{2}=-2-\sqrt{5}$  

$x_2=\frac{-4+2\sqrt{5}}{2}=-2+\sqrt{5}$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby:

$-2-\sqrt{5},-2+\sqrt{5},4$  

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x+2+\sqrt{5}\right)\left(x+2-\sqrt{5}\right)\left(x-4\right)$