a)

Dany jest układ równań

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& y=4x-5\\ & y=x^2-1\end{array}\end{array}$

Porównujemy wyrażenia po prawej stronie obu równań. Dostajemy

$x^2-1=4x-5$

zatem

$x^2-4x+4=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

${\left(x-2\right)}^2=0$

$x-2=0|+2$

$x=2$

Wyznaczyliśmy możliwą wartość $x$, więc teraz przechodzimy do wyznaczenia wartości dla $y.$ Skorzystamy na przykład z drugiego równania zapisanego w układzie równań.

Jeśli $x=2$, to

$y=2^2-1=3$

Wnioskujemy, że rozwiązaniami układu równań jest para liczb

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=2\\ & y=3\end{array}\end{array}\end{array}$

Naszkicujmy pomocniczo wykresy funkcji, których równania tworzą układ równań.

Dokonajmy teraz interpretacji geometrycznej układu równań.

Prosta $y=4x-5$ i parabola $y=x^2-1$ mają jeden punkt wspólny - $A\left(2,3\right).$

---

b)

Dany jest układ równań

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& y=2x^2+3\\ & y=-4x^{}+1\end{array}\end{array}$

Porównujemy wyrażenia po prawej stronie obu równań. Dostajemy 

$2x^2+3=-4x+1$

zatem

$2x^2+4x+2=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe.

$2x^2+4x+2=0|:2$

$x^2+2x+1=0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, dostajemy

${\left(x+1\right)}^2=0$

$x+1=0|-1$

$x=-1$

Wyznaczyliśmy możliwą wartość $x$, więc teraz przechodzimy do wyznaczenia wartości dla $y.$ Skorzystamy na przykład z drugiego równania zapisanego w układzie równań.

Jeśli $x=-1$, to

$y=-4\cdot \left(-1\right)+1=$

$=4+1=5$

Wnioskujemy, że rozwiązaniami układu równań jest para liczb

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=-1\\ & y=5\end{array}\end{array}\end{array}$

Naszkicujmy pomocniczo wykresy funkcji, których równania tworzą układ równań.

Dokonajmy teraz interpretacji geometrycznej układu równań.

Prosta $y=-4x+1$ i parabola $y=2x^2+3$ mają jeden punkt wspólny - $A\left(-1,5\right).$

---

c)

Dany jest układ równań

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x+\frac{1}{2}y+1=0\\ & y=-\frac{1}{2}{x}^2\end{array}\end{array}$

Przekształcamy pierwsze równanie z układu równań do postaci $y=ax+b.$

$x+\frac{1}{2}y+1=0$

$\frac{1}{2}y=-x-1|\cdot 2$

$y=-2x-2$

Wobec tego układ równań możemy zapisać w postaci

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& y=-2x-2\\ & y=-\frac{1}{2}{x}^2\end{array}\end{array}$

Porównujemy wyrażenia po prawej stronie obu równań. Dostajemy 

$-\frac{1}{2}{x}^2=-2x-2$

zatem

$-\frac{1}{2}{x}^2+2x+2=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe.

$-\frac{1}{2}{x}^2+2x+2=0|\cdot 2$

$-x^2+4x+4=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =4^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 4=$

$=16+16=32$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{32}=$

$=\sqrt{2\cdot 16}=4\sqrt{2}$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

$x_1=\frac{-4-4\sqrt{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{\cancel{-2}\left(2+2\sqrt{2}\right)}{\cancel{-2}}=$

$=2+2\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{\cancel{-2}\left(2-2\sqrt{2}\right)}{\cancel{-2}}=$

$=2-2\sqrt{2}$

Wyznaczyliśmy możliwe wartości $x$, więc teraz przechodzimy do wyznaczenia odpowiednich wartości dla $y.$ Skorzystamy na przykład z drugiego równania zapisanego w układzie równań.

Jeśli $x=2+2\sqrt{2}$, to

$y=-\frac{1}{2}\cdot {\left(2+2\sqrt{2}\right)}^2=$

$=-\frac{1}{2}\left(4+8\sqrt{2}+8\right)=$

$=-\frac{1}{2}\left(12+8\sqrt{2}\right)=$

$=-6-4\sqrt{2}$

Jeśli $x=2-2\sqrt{2}$, to

$y=-\frac{1}{2}{\left(2-2\sqrt{2}\right)}^2=$

$=-\frac{1}{2}\left(4-8\sqrt{2}+8\right)=$

$=-\frac{1}{2}\left(12-8\sqrt{2}\right)=$

$=-6+4\sqrt{2}$

Wnioskujemy, że rozwiązaniami układu równań są dwie pary liczb

$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=2+2\sqrt{2}\\ & y=-6-4\sqrt{2}\end{array}\end{array}& \text{lub}& \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=2-2\sqrt{2}\\ & y=-6+4\sqrt{2}\end{array}\end{array}\end{array}$

Naszkicujmy pomocniczo wykresy funkcji, których równania tworzą układ równań.

Dokonajmy teraz interpretacji geometrycznej układu równań.

Prosta $y=-2x-2$ przecina parabolę $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ w punktach $A\left(2-2\sqrt{2},-6+4\sqrt{2}\right)$ oraz $B\left(2+2\sqrt{2},-6-4\sqrt{2}\right).$