a)

Dane jest równanie

$x^6-9x^3+8=0$

Zauważmy, że

${\left(x^3\right)}^2-9x^3+8=0$

Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą.

$t=x^3$

W ten sposób otrzymujemy równanie kwadratowe.

$t^2-9t+8=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie ze zmienną $t.$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=$

$=81-32=49$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

$t_1=\frac{-\left(-9\right)-7}{2\cdot 1}=$

$=\frac{9-7}{2}=\frac{2}{2}=1$

$t_2=\frac{-\left(-9\right)+7}{2\cdot 1}=$

$=\frac{9+7}{2}=\frac{16}{2}=8$

Wracamy do zastosowanego podstawienia $t=x^3$ i dostajemy

$\begin{array}{lll}{x}^3=1|\sqrt[3]{}& \text{lub}& x^3=8|\sqrt[3]{}\\ x=1& & x=2\end{array}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{1,2\right\}$

---

b)

Dane jest równanie

$x^6-7x^3-8=0$

Zauważmy, że

${\left(x^3\right)}^2-7x^3-8=0$

Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą.

$t=x^3$

W ten sposób otrzymujemy równanie kwadratowe.

$t^2-7t-8=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie ze zmienną $t.$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

${\Delta =\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=$

$=49+32=81$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{81}=9$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

$t_1=\frac{-\left(-7\right)-9}{2\cdot 1}=$

$=\frac{7-9}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$t_2=\frac{-\left(-7\right)+9}{2\cdot 1}=$

$=\frac{7+9}{2}=\frac{16}{2}=8$

Wracamy do zastosowanego podstawienia $t=x^3$ i dostajemy

$\begin{array}{lll}{x}^3=-1|\sqrt[3]{}& \text{lub}& x^3=8|\sqrt[3]{}\\ x=-1& & x=2\end{array}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{-1,2\right\}$

---

c)

Dane jest równanie

$x^6-x^3-2=0$

Zauważmy, że

${\left(x^3\right)}^2-x^3-2=0$

Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą.

$t=x^3$

W ten sposób otrzymujemy równanie kwadratowe.

$t^2-t-2=0$

Rozwiązujemy powyższe równanie ze zmienną $t.$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

${\Delta =\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=$

$=1+8=9$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$

Skoro $\Delta >0$, to trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

$t_1=\frac{-\left(-1\right)-3}{2\cdot 1}=$

$=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$t_2=\frac{-\left(-1\right)+3}{2\cdot 1}=$

$=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$

Wracamy do zastosowanego podstawienia $t=x^3$ i dostajemy

$\begin{array}{lll}{x}^3=-1|\sqrt[3]{}& \text{lub}& x^3=2|\sqrt[3]{}\\ x=-1& & x=\sqrt[3]{2}\end{array}$

Wnioskujemy, że

$x\in \left\{-1,\sqrt[3]{2}\right\}$