a)

Rozwiązujemy nierówność

$x-x^2⩽3-3x^2|-3+3x^2$

$2x^2+x-3⩽0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$2x^2+x-3=0$

$\Delta =1^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=$

$=1+24=25$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

Skoro $\Delta >0$, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-1-5}{2\cdot 2}=$

$=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}$

$x_2=\frac{-1+5}{2\cdot 2}=$

$=\frac{4}{4}=1$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX$. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości niedodatnie dla

$x\in ⟨-\frac{3}{2},1⟩$

---

b)

Rozwiązujemy nierówność

$-x\left(2-x\right)>1-x^2$

$-2x+x^2>1-x^2|-1+x^2$

$2x^2-2x-1>0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$2x^2-2x-1=0$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=$

$=4+8=12$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Skoro $\Delta >0$, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-2\sqrt{3}}{2\cdot 2}=$

$=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}=\frac{2\left(1-\sqrt{3}\right)}{4}=$

$=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+2\sqrt{3}}{2\cdot 2}=$

$=\frac{2+2\sqrt{3}}{4}=\frac{2\left(1+\sqrt{3}\right)}{4}=$

$=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX$. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla

$x\in \left(-\infty ,\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\infty \right)$

---

c)

Rozwiązujemy nierówność

${\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)}^2>\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$

Po lewej stronie nierówności, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

$\frac{1}{9}{x}^2+\frac{2}{9}x+\frac{1}{9}>\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}|-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$

$\frac{1}{9}{x}^2+\frac{2}{9}x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}+\frac{8}{3}>0$

$\frac{1}{9}{x}^2+\frac{2}{9}x-\frac{6}{9}x+\frac{1}{9}+\frac{24}{9}>0$

$\frac{1}{9}{x}^2-\frac{4}{9}x+\frac{25}{9}>0|\cdot 9$

$x^2-4x+25>0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$x^2-4x+25=0$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 25=$

$=16-100=-84$

Skoro $\Delta <0$, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę oraz cała parabola znajduje się nad osią $OX.$

Z wykresu odczytujemy, że dla każdego argumentu wartość funkcji jest dodatnia, więc

$x\in \mathbb{R}$

---

d)

Rozwiązujemy nierówność

$2-x^2<{\left(2-x\right)}^2$

Po prawej stronie nierówności, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

$2-x^2<4-4x+x^2|-4+4x-x^2$

$-2x^2+4x-2<0|:2$

$-x^2+2x-1<0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$-x^2+2x-1=0$

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)=$

$=4-4=0$

Skoro $\Delta =0$, to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe.

$x_0-\frac{-2}{2\cdot \left(-1\right)}=$

$=\frac{-2}{-2}=1$

Liczba $x=1$ jest pierwiastkiem podwójnym podanego trójmianu kwadratowego.

Zaznaczamy miejsce zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX$. Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy, że dla każdego argumentu poza miejscem zerowym $x=1$, wartość funkcji jest ujemna, więc

$x\in \mathbb{R}\backslash \{1\}$

---

e)

Rozwiązujemy nierówność

${\left(2x+1\right)}^2+{\left(x-3\right)}^2<10$

Po lewej stronie nierówności stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy.

$4x^2+4x+1+x^2-6x+9<10|-10$

$5x^2-2x<0|:5$

$x^2-\frac{2}{5}x<0$

$x\left(x-\frac{2}{5}\right)<0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$x\left(x-\frac{2}{5}\right)=0$

$\begin{array}{lll}x=0& \text{lub}& x-\frac{2}{5}=0\\ & & x=\frac{2}{5}\end{array}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX$. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w górę.

Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne dla 

$x\in \left(0,\frac{2}{5}\right)$

---

f)

Rozwiązujemy nierówność

$3x-{\left(1-x\right)}^2⩾x^2-4$

Po lewej stronie nierówności stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

$3x-\left(1-2x+x^2\right)⩾x^2-4$

$3x-1+2x-x^2⩾x^2-4|-x^2+4$

$-2x^2+5x+3⩾0$

Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

$-2x^2+5x+3=0$

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 3=$

$=25+24=49$

Wobec tego

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$

Skoro $\Delta >0$, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-5-7}{2\cdot \left(-2\right)}=$

$=\frac{-12}{-4}=3$

$x_2=\frac{-5+7}{2\cdot \left(-2\right)}=$

$=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$

Zaznaczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej na osi $OX$. Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, zatem szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.

Z wykresu odczytujemy, że funkcja przyjmuje wartości nieujemne dla 

$x\in ⟨-\frac{1}{2},3⟩$