$\text{a)}$

Oznaczmy mianownik tego ułamka przez m, m jest dowolną liczbą różną od zera. 

 

$\frac{10}{m}=\frac{10+20}{m+30}$

Zał:

$m\ne 0,m+30\ne 0$  

$m\ne 0,m\ne -30$  

 

$\frac{10}{m}=\frac{30}{m+30}\mid \cdot m\left(m+30\right)$  

$10\left(m+30\right)=30m$

$10m+300=30m\mid -10m$

$20m=300\mid :20$

$m=\frac{300}{20}=\frac{30}{2}=15$

 

Odp. Ten ułamek to $\frac{10}{15}.$  

---

$\text{b)}$  

Oznaczmy mianownik tego ułamka przez m, m jest dowolną liczbą różną od zera. 

$\frac{m-2}{m}=\frac{m-2+9}{m+5}$  

Zał:

$m\ne 0,m+5\ne 0$  

$m\ne 0,m\ne -5$   

 

$2\cdot \frac{m-2}{m}=\frac{m+7}{m+5}\mid \cdot m\left(m+5\right)$  

$2\left(m-2\right)\left(m+5\right)=m\left(m+7\right)$  

$2\cdot \left(m^2+5m-2m-10\right)=m^2+7m$  

$2\left(m^2+3m-10\right)=m^2+7m$  

$2m^2+6m-20=m^2+7m\mid -m^2-7m$  

$m^2-m-20=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-20\right)=1+80=81$  

$m_1=\frac{1-9}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

$m_2=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5$  

 

Gdy  $m=-4$   to jest to ułamek:

$\frac{-6}{-4}=\frac{6}{4}$  

Zauważmy, że jest to ułamek skracalny, zatem warunki zadania nie są spełnione.

 

Gdy  $m=5$   to jest to ułamek:

$\frac{3}{5}$  

 

Odp. Szukany ułamek to  $\frac{3}{5}.$  

---

$\text{c)}$

Oznaczmy większą z liczb jako x, mniejszą jako x-3 (jest o 3 mniejsza od pierwszej). 

Znamy stosunek tych liczb: 

$\frac{x-3}{x}=\frac{75}{100}$  

$\frac{x-3}{x}=\frac{3}{4}$  

Zał:

$x\ne 0$  

 

$4\left(x-3\right)=3x$

$4x-12=3x\mid -3x$

$x-12=0\mid +12$  

$x=12$  

 

Zatem otrzymujemy:

$x-3=12-3$

$x-3=9$  

 

Odp. Te liczby to 12 i 9.