Wykonaj działania. Odpowiedź podaj...- Zadanie 5: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Edycja 2024

Rozwiązanie

a) Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x - 1 \neq = 0 i x + 1 \neq = 0 i x^{2} - 1 \neq = 0$

$x \neq = 1 i x \neq = - 1 i x^{2} \neq = 1$

$x \neq = 1 i x \neq = - 1$

$D = R \ {- 1, 1}$

Wykonujemy działania:

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{2 - 3 x}{x ^{2} - 1} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{2 - 3 x}{x ^{2} - 1} = \frac{x + 1}{x ^{2} - 1} + \frac{2 x - 2}{x ^{2} - 1} + \frac{2 - 3 x}{x ^{2} - 1} = \frac{x + 1 + 2 x - 2 + 2 - 3 x}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{x ^{2} - 1}$

b) Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x \neq = 0 i x - 3 \neq = 0 i x^{2} - 3 x \neq = 0$

$x \neq = 0 i x - 3 \neq = 0 i x (x - 3) \neq = 0$

$x \neq = 0 i x \neq = 3$

$D = R \ {0, 3}$

Wykonujemy działania:

$\frac{2}{x} - \frac{4}{x - 3} + \frac{2 x - 1}{x ^{2} - 3 x} = \frac{2 ( x - 3 )}{x ( x - 3 )} - \frac{4 x}{x ( x - 3 )} + \frac{2 x - 1}{x ^{2} - 3 x} = \frac{2 x - 6}{x ^{2} - 3 x} - \frac{4 x}{x ^{2} - 3 x} + \frac{2 x - 1}{x ^{2} - 3 x} = \frac{2 x - 6 - 4 x + 2 x - 1}{x ^{2} - 3 x} = - \frac{7}{x ^{2} - 3 x}$

c) Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x^{2} - 2 x + 1 \neq = 0 i x^{2} - 1 \neq = 0$

$(x - 1)^{2} \neq = 0 i x^{2} \neq = 1$

$x \neq = 1 i x \neq = - 1$

$D = R \ {- 1, 1}$

Wykonujemy działania:

$\frac{x + 3}{x ^{2} - 2 x + 1} - \frac{x - 3}{x ^{2} - 1} = \frac{x + 3}{( x - 1 ) ^{2}} - \frac{x - 3}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{( x + 3 ) ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}} - \frac{( x - 3 ) ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + x + 3 x + 3}{( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}} - \frac{x ^{2} - x - 3 x + 3}{( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 4 x + 3}{( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}} - \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 4 x + 3 - x ^{2} + 4 x - 3}{( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{8 x}{( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}}$

d) Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x - 3 \neq = 0 i x^{3} - 27 \neq = 0$

$x \neq = 3 i x^{3} \neq = 27$

$x \neq = 3 i x \neq = 3$

$D = R \ {3}$

Wykonujemy działania:

$\frac{1}{x - 3} + \frac{3 x}{x ^{3} - 27} = \frac{x ^{2} + 3 x + 9}{( x - 3 ) ( x ^{2} + 3 x + 9 )} + \frac{3 x}{x ^{3} - 27} = \frac{x ^{2} + 3 x + 9}{x ^{3} - 27} + \frac{3 x}{x ^{3} - 27} = \frac{x ^{2} + 3 x + 9 + 3 x}{x ^{3} - 27} = \frac{x ^{2} + 6 x + 9}{x ^{3} - 27} = \frac{( x + 3 ) ^{2}}{x ^{3} - 27}$

e) Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x^{2} - 4 \neq = 0 i x + 2 \neq = 0 i x - 2 \neq = 0$

$x^{2} \neq = 4 i x \neq = - 2 i x \neq = 2$

$x \neq = - 2 i x \neq = 2$

$D = R \ {- 2, 2}$

Wykonujemy działania:

$\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 4} + \frac{x - 3}{x + 2} - \frac{1 - x}{x - 2} = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 4} + \frac{( x - 3 ) ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{( 1 - x ) ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 4} + \frac{x ^{2} - 2 x - 3 x + 6}{x ^{2} - 4} - \frac{x + 2 - x ^{2} - 2 x}{x ^{2} - 4} = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 4} + \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4} - \frac{- x ^{2} - x + 2}{x ^{2} - 4} = \frac{x ^{2} - 9 + x ^{2} - 5 x + 6 + x ^{2} + x - 2}{x ^{2} - 4} = \frac{3 x ^{2} - 4 x - 5}{x ^{2} - 4}$

f) Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x^{2} - 5 x \neq = 0 i x \neq = 0 i x + 5 \neq = 0$

$x (x - 5) \neq = 0 i x \neq = 0 i x \neq = - 5$

$x \neq = 5 i x \neq = 0 i x \neq = - 5$

$D = R \ {- 5, 0, 5}$

Wykonujemy działania:

$\frac{16 - x ^{2}}{x ^{2} - 5 x} - \frac{x - 4}{x} + \frac{2}{x + 5} = \frac{16 - x ^{2}}{x ( x - 5 )} - \frac{x - 4}{x} + \frac{2}{x + 5} = \frac{( 16 - x ^{2} ) ( x + 5 )}{x ( x - 5 ) ( x + 5 )} - \frac{( x - 4 ) ( x - 5 ) ( x + 5 )}{x ( x - 5 ) ( x + 5 )} + \frac{2 x ( x - 5 )}{x ( x - 5 ) ( x + 5 )} = \frac{( 16 - x ^{2} ) ( x + 5 ) - ( x - 4 ) ( x ^{2} - 25 ) + 2 x ( x - 5 )}{x ( x ^{2} - 25 )} = \frac{16 x + 80 - x ^{3} - 5 x ^{2} - x ^{3} + 25 x + 4 x ^{2} - 100 + 2 x ^{2} - 10 x}{x ( x ^{2} - 25 )} = \frac{- 2 x ^{3} + x ^{2} + 31 x - 20}{x ( x ^{2} - 25 )}$