W zadaniu skorzystamy ze wzorów na sumę i różnicę sześcianów:

$a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$  

$a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$  

---

a) Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x^2+2x+1\ne 0\text{i}x-5\ne 0\text{i}x+1\ne 0$  

${\left(x+1\right)}^2\ne 0\text{i}x\ne 5\text{i}x\ne -1$  

$x\ne -1\text{i}x\ne 5\text{i}x\ne -1$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-1,5\right\}$  

Wykonujemy dzielenie:

$\frac{125-x^3}{x^2+2x+1}:\frac{x-5}{x+1}=\frac{-\left(x^3-125\right)}{{\left(x+1\right)}^2}\cdot \frac{x+1}{x-5}=-\frac{\left(x-5\right)\left(x^2+5x+25\right)}{x+1}\cdot \frac{1}{x-5}=-\frac{x^2+5x+25}{x+1}$  

---

b) Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x-1\ne 0\text{i}{x}^2+x+1\ne 0\text{i}{x}^2+1\ne 0$  

$x\ne 1\text{i}x\in \mathbf{R}\text{i}{x}^2\ne -1$  

Trójmian x²+x+1 zawsze przyjmuje wartość różną od zera, ponieważ:

$\Delta =1-4<0$  

Zatem:

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{1\right\}$  

Wykonujemy dzielenie:

$\frac{x^3-1}{x-1}:\frac{x^2+x+1}{x^2+1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x-1}\cdot \frac{x^2+1}{x^2+x+1}=x^2+1$  

---

c) Określamy dziedzinę wyrażenia:

$x^2-3x+9\ne 0\text{i}{x}^2+4x\ne 0\text{i}{x}^3+27\ne 0$  

$x\in \mathbf{R}\text{i}x\left(x+4\right)\ne 0\text{i}{x}^3\ne -27$  

Trójmian x²-3x+9 zawsze przyjmuje wartość różną od zera, ponieważ:

$\Delta =9-36<0$  

$x\ne 0\text{i}x+4\ne 0\text{i}x\ne -3$  

$x\ne 0\text{i}x\ne -4\text{i}x\ne -3$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-4,-3,0\right\}$  

Wykonujemy dzielenie:

$\frac{x+4}{x^2-3x+9}:\frac{x^2+4x}{x^3+27}=\frac{x+4}{x^2-3x+9}\cdot \frac{x^3+27}{x^2+4x}=\frac{x+4}{x^2-3x+9}\cdot \frac{\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)}{x\left(x+4\right)}=\frac{x+3}{x}$