a)

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, zatem jego podstawa to kwadrat. Wiemy, że jego pole wynosi $36$, zatem:

$a^2=36|\sqrt{},a>0$

$a=6$

Odcinek oznaczony $y$ ma długość równą połowie długości boku kwadratu w podstawie, stąd:

$y=\frac{6}{2}=3$

Odcinek oznaczony $x$ ma długość równą połowie długości przekątnej kwadratu w podstawie, stąd:

$x=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$

Wiemy ponadto, że:

$h=4$

Aby obliczyć $H$, skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o bokach długości $h$, $y$, $H$. Mamy:

$y^2+H^2=h^2$

$3^2+H^2=4^2$

$9+H^2=16|-9$

$H^2=7|\sqrt{},H>0$

$H=\sqrt{7}$

Aby obliczyć $b$, skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o bokach długości $x$, $H$, $b$. Mamy:

$x^2+H^2=b^2$

${\left(3\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{7}\right)}^2=b^2$

$9\cdot 2+7=b^2$

$18+7=b^2$

$25=b^2|\sqrt{},b>0$

$5=b$

$b=5$

Powierzchnia boczna tego ostrosłupa składa się z czterech przystających trójkątów o podstawie $a=6$ i wysokości $h=4$, zatem:

$P_b=4\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=48$

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b=36+48=84$

---

b)

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Przedstawiony ostrosłup to ostrosłup prawidłowy sześciokątny, a więc jego podstawą jest sześciokąt foremny o boku długości $2\sqrt{2}$.

Poprowadzone przekątne sześciokąta podzieliły go na sześć trójkątów równobocznych o boku długości $2\sqrt{2}$, zatem $y=2\sqrt{2}$, a $x$ to wysokość jednego z tych trójkątów. Wobec tego:

$x=\frac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$

Obliczmy jego pole podstawy, korzystając z tego, że pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, a sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o tej samej długości boku co sześciokąt:

$P_p=6\cdot \frac{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{4\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}$

Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi $12\sqrt{3}+6\sqrt{14}$. Zatem:

$P_c=P_p+P_b$

$12\sqrt{3}+6\sqrt{14}=12\sqrt{3}=P_b|-12\sqrt{3}$

$P_b=6\sqrt{14}$

Powierzchnia boczna tego ostrosłupa składa się z sześciu przystających trójkątów o podstawie $a=2\sqrt{2}$ i wysokości $h$, zatem:

$6\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot h=6\sqrt{14}$

$6\sqrt{2}\cdot h=6\sqrt{14}|:6\sqrt{2}$

$h=\frac{6\sqrt{14}}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{14}{2}}=\sqrt{7}$

Aby obliczyć $H$, skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o bokach długości $h$, $x$, $H$. Mamy:

$x^2+H^2=h^2$

${\left(\sqrt{6}\right)}^2+H^2={\left(\sqrt{7}\right)}^2$

$6+H^2=7|-6$

$H^2=1|\sqrt{},H>0$

$H=1$

Aby obliczyć $b$, skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o bokach długości $y$, $H$, $b$. Mamy:

$y^2+H^2=b^2$

${\left(2\sqrt{2}\right)}^2+1^2=b^2$

$4\cdot 2+1=b^2$

$8+1=b^2$

$9=b^2|\sqrt{},b>0$

$3=b$

$b=3$

---

c)

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, zatem jego podstawa to trójkąt równoboczny. Wiemy, że jego pole wynosi $25\sqrt{3}$, a pole trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wyraża się wzorem $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, a więc:

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$\frac{a^2}{4}=25|\cdot 4$

$a^2=100|\sqrt{},a>0$

$a=10$

Długość wysokości trójkąta równobocznego o boku długości $10$ wynosi $\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.

Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi $180+25\sqrt{3}$. Zatem:

$P_c=P_p+P_b$

$180+25\sqrt{3}=25\sqrt{3}+P_b|-25\sqrt{3}$

$180=P_b$

$P_b=180$

Powierzchnia boczna tego ostrosłupa składa się z trzech przystających trójkątów o podstawie $a=10$ i wysokości $h$, zatem:

$P_b=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 10\cdot h$

$180=15h|:15$

$12=h$

$h=12$

Wysokości takiego trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą nawzajem w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołka. Zatem:

$x=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot 5\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

$y=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot 5\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Aby obliczyć $H$, skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o bokach długości $h$, $x$, $H$. Mamy:

$x^2+H^2=h^2$

${\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)}^2+H^2=12^2$

$\frac{25\cdot 3}{9}+H^2=144$

$\frac{75}{9}+H^2=144|-\frac{75}{9}$

$H^2=\frac{1296}{9}-\frac{75}{9}$

$H^2=\frac{1221}{9}|\sqrt{},H>0$

$H=\frac{\sqrt{1221}}{3}$

Aby obliczyć $b$, skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o bokach długości $y$, $H$, $b$. Mamy:

$y^2+H^2=b^2$

${\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{1221}}{3}\right)}^2=b^2$

$\frac{100\cdot 3}{9}+\frac{1221}{9}=b^2$

$\frac{300}{9}+\frac{1221}{9}=b^2$

$\frac{1521}{9}=b^2$

$169=b^2|\sqrt{},b>0$

$13=b$

$b=13$

---

Uzupełnijmy tabelę:

Ostrosłup prawidłowy	$P_c$	$P_p$	$P_b$	$a$	$b$	$h$	$H$
czworokątny	$84$	$36$	$48$	$6$	$5$	$4$	$\sqrt{7}$
sześciokątny	$12\sqrt{3}+6\sqrt{14}$	$12\sqrt{3}$	$6\sqrt{14}$	$2\sqrt{2}$	$3$	$\sqrt{7}$	$1$
trójkątny	$180+25\sqrt{3}$	$25\sqrt{3}$	$180$	$10$	$13$	$12$	$\frac{\sqrt{1221}}{3}$