Zaczynamy od graniastosłupa czworokątnego. Jego podstawą jest prostokąt o wymiarach $3\mathrm{cm}\times 4\mathrm{cm}$. Obliczmy pole podstawy:

$P_p=3\cdot 4=12\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Objętość graniastosłupa jest równa $120{\mathrm{cm}}^3$, a jego wysokość to $H=x$. Obliczmy $x$, korzystając ze wzoru na objętość:

$V=P_p\cdot H$

$120=12\cdot x|:12$

$x=10\left[\mathrm{cm}\right]$

Wybieramy drogę z $10\mathrm{cm}$.

---

Teraz mamy graniastosłup trójkątny. Wysokość tego graniastosłupa jest równa $H=6\mathrm{cm}$. Obliczmy pole podstawy, korzystając ze wzoru na objętość:

$V=P_p\cdot H$

$120=P_p\cdot 6|:6$

$P_p=20\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Podstawą jest trójkąt, którego jeden bok ma długość $8\mathrm{cm}$, a wysokość poprowadzona do tego boku ma długość $x$. Skorzystajmy teraz ze wzoru na pole trójkąta:

$P_p=\frac{a\cdot h}{2}$

$20=\frac{8\cdot x}{2}|\cdot 2$

$8x=40|:8$

$x=5\left[\mathrm{cm}\right]$

Wybieramy drogę z $5\mathrm{cm}$.

---

Przed nami teraz graniastosłup sześciokątny. Załóżmy, że jest on prawidłowy (czyli jego podstawą jest sześciokąt foremny). Wysokość tego graniastosłupa jest równa $H=\frac{20\sqrt{3}}{9}\text{cm}$. Obliczmy pole podstawy, korzystając ze wzoru na objętość:

$V=P_p\cdot H$

$120=P_p\cdot \frac{20\sqrt{3}}{9}|\cdot 9$

$1080=P_p\cdot 20\sqrt{3}|:20$

$54=P_p\cdot \sqrt{3}|\cdot \sqrt{3}$

$54\sqrt{3}=P_p\cdot 3|:3$

$P_p=18\sqrt{3}\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Pole podstawy, czyli pole sześciokąta foremnego, jest równe $18\sqrt{3}{\text{cm}}^2$. Pole sześciokąta foremnego to suma pól sześciu trójkątów równobocznych o tej samej długości boku, co sześciokąt foremny. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego o boku długości $x$, mamy:

$P_p=6\cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{4}$

$18\sqrt{3}={\cancel{6}}^3\cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{{\cancel{4}}_2}|:\sqrt{3}$

$18=\frac{3}{2}{x}^2|\cdot \frac{2}{3}$

$x^2={\cancel{18}}^6\cdot \frac{2}{{\cancel{3}}_1}$

$x^2=12|\sqrt{},x>0$

$x=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\left[\mathrm{cm}\right]$

Wybieramy drogę z $2\sqrt{3}\text{cm}$.

---

Został ostatni graniastosłup. Jego podstawą jest trapez, a wysokość jest równa $H=8\mathrm{cm}$. Obliczmy pole podstawy tego graniastosłupa, korzystając ze wzoru na objętość:

$V=P_p\cdot H$

$120=P_p\cdot 8|:8$

$P_p=15\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Pole trapezu jest równe $15{\mathrm{cm}}^2$. Jego podstawy mają długości $6\mathrm{cm}$ i $x$, a wysokość tego trapezu jest równa $3\mathrm{cm}$. Aby obliczyć $x$, skorzystamy ze wzoru na pole trapezu:

$P_p=\frac{a+b}{2}\cdot h$

$15=\frac{6+x}{2}\cdot 3|:3$

$5=\frac{6+x}{2}|\cdot 2$

$10=6+x|-6$

$x=4\left[\mathrm{cm}\right]$

Wybieramy drogę z $4\mathrm{cm}$.

I dotarliśmy do mety. Pokonaliśmy ścieżkę:

$10\mathrm{cm}\to 5\mathrm{cm}\to 2\sqrt{3}\text{cm}\to 4\mathrm{cm}$