a)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o przekątnej długości $d=5\sqrt{2}\text{cm}$. Obliczmy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa:

$d=a\sqrt{2}$

$5\sqrt{2}=a\sqrt{2}|:\sqrt{2}$

$a=5\left[\mathrm{cm}\right]$

Krawędź podstawy ma długość $a=5\mathrm{cm}$. Obliczmy pole podstawy:

$P_p=a^2=5^2=25\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Pole powierzchni bocznej to suma pól czterech przystających prostokątów o wymiarach $5\mathrm{cm}\times 7\mathrm{cm}$, czyli:

$P_b=4\cdot 5\cdot 7=140\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:

$P_c=2P_p+P_b=2\cdot 25+140=50+140=\underline{190\left[{\mathrm{cm}}^2\right]}$

---

b)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest trójkąt równoboczny o boku długości $a=5\mathrm{cm}$. Obliczmy pole podstawy tego graniastosłupa:

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{5^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Przekątna ściany bocznej ma długość $13\mathrm{cm}$. Aby obliczyć wysokość $H$ tego graniastosłupa, skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$H^2+5^2=13^2$

$H^2+25=169|-25$

$H^2=144|\sqrt{},H>0$

$H=12\left[\mathrm{cm}\right]$

Wysokość tego graniastosłupa ma długość $H=12\mathrm{cm}$. Oznacza to, że pole powierzchni bocznej to suma pól trzech przystających prostokątów o wymiarach $5\mathrm{cm}\times 12\mathrm{cm}$, czyli:

$P_b=3\cdot 5\cdot 12=180\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:

$P_c=2P_p+P_b={\cancel{2}}^1\cdot \frac{25\sqrt{3}}{{\cancel{4}}_2}+180=\underline{\frac{25\sqrt{3}}{2}+180\left[{\mathrm{cm}}^2\right]}$

---

c)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest sześciokąt foremny o boku długości $a=2,5\mathrm{cm}$. Obliczmy pole podstawy tego graniastosłupa (to pole sześciu trójkątów równobocznych o tej samej długości boku, co sześciokąt foremny):

$P_p=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{{\left(2,5\right)}^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{6,25\sqrt{3}}{4}=\frac{37,5\sqrt{3}}{4}\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Pole powierzchni bocznej to suma pól sześciu przystających prostokątów o wymiarach $2,5\mathrm{cm}\times 5\sqrt{3}\text{cm}$, czyli:

$P_b=6\cdot 2,5\cdot 5\sqrt{3}=75\sqrt{3}\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:

$P_c=2P_p+P_b=2\cdot \frac{37,5\sqrt{3}}{4}+75\sqrt{3}=\frac{75\sqrt{3}}{4}+\frac{300\sqrt{3}}{4}=\underline{\frac{375\sqrt{3}}{4}\left[{\mathrm{cm}}^2\right]}$